Lakatos' didactic text, the title essay which makes up the bulk of this book, is presented in the form of a discussion between a teacher and a number of students. Lakatos uses the form to dramatic effect. The students, named after letters of the Greek alphabet, represent a broad spectrum of viewpoints that can be held about the issues at hand, all engaged in argument with their mentor. Out of this Lakatos has fashioned an extremely effective essay explaining much about mathematics and its methods. And it is presented in the form of an entertaining (and even suspenseful) narrative. Strongly invoking Popper both in its title and subtitle (echoing Popper's Conjectures and Refutations and The Logic of Scientific Discovery), Lakatos applies much of the master's thinking to the specific example of mathematics. A fairly simple mathematical concept is used as an example: anyone who knows what a polyhedron is should be able to follow the bulk of the arguments (those whose mathematical literacy does not extend this far will probably have difficulties with the book). One of the issues is, in fact, the definition of a polyhedron, as well as the difference between Eulerian and non-Eulerian polyhedra. Taking the apparently simple problem before the class the teacher shows how many difficulties there in fact are - from that of proof to definition to verification, among others. The possible approaches to advancing mathematical concepts are gone over, cleverly introduced in examples (and undermined in counterexamples). The polyhedron-example that is used has, in fact, a long and storied past, and Lakatos uses this to keep the example from being simply an abstract one. The book allows one to see the historical progression of maths, and to hear the echoes of the voices of past mathematicians that grappled with the same question. Most remarkable is the narrative drive behind the argument. What seems relatively straightforward is in fact a complex and convoluted problem, and as the various opinions regarding proper approaches are voiced the characters also grow richer. While their dispute is ultimately intellectual (for the most part) the personal tensions also realistically make themselves felt. Lakatos also displays a fine wit, and an elegant writing style. The dialogue is fairly natural (as natural as is possible, given the maths that make up much of it), and through the use of verbatim quotes and his varied subjects he has created a fine work. Relatively short, it is also a very dense book, with hardly a wasted word. In best mathematical fashion each line builds on the previous, with all the fat trimmed away. Even (or perhaps: especially) the footnotes are a mine of information. Lakatos himself did not finish the preparations to publish his essay in book form, but his editors have done a fine job. The additional essays included here (another case-study of the proofs-and-refutations idea, and a comparison of The Deductivist versus the Heuristic Approach) offer more insight into Lakatos' philosophy and are welcome appendices. An important look at the history and philosophy of maths (a field not quite as esoteric as one might imagine) this book is certainly recommended to all who are involved with mathematics, as well as all historians and philosophers of science. M.-M. V.

Publiées pour la première fois en 1956 à titre posthume sous le titre Remarques sur les fondements des mathématiques, les notes de W. datent presque toutes de la période allant de septembre 1937 à avril 1944. La présente édition révisée comprend la totalité du texte de la première édition de 1956, en l’enrichissant de compléments. «Seules les IIe et IIIe parties de la première édition réapparaissent comme telles dans les IIIe et IVe parties de l’édition actuelle. De la Ière partie de la première édition, nous avons extrait l’Annexe II complétée par quelques manuscrits, et elle apparaît maintenant indépendante dans la IIe partie. La VIe partie de cette édition est entièrement nouvelle. Le manuscrit comporte entre autres choses l’exposition peut-être la plus satisfaisante de la pensée de Wittgenstein sur le problème de l’application d’une règle – l’un des thèmes de sa pensée qui revient le plus fréquemment. Le manuscrit (164) fut rédigé durant les années 1941-1944. Nous n’avons pas pu le dater plus précisément jusqu’à présent. À l’exception de quelques remarques terminales qui ne se laissent pas parfaitement intégrer dans la problématique ambiante, le manuscrit est ici reproduit in extenso» (Note des éditeurs, p. 347 et sq). – Partie I : – Le problème de l’application d’une règle; – L’inférence logique; – La preuve; – Calcul et expérience; – La croyance mathématique; – La contrainte logique; – Justification d’un processus de calcul et d’une inférence logique; – Mathématiques, logique et expérience. Annexes I, II et III. – Partie II : – Approches; – La maladie d’une époque; – Nombres irrationnels ... – Partie III : La preuve; – La logique russellienne ... ; – Calcul et expérience; – La contradiction. – Partie IV : Des axiomes; – Suivre une règle; – Le présupposé arithmétique ... – Partie V : Les mathématiques comme “jeu” et comme activité de type mécanique; – Le principe du tiers exclu en mathématiques ... – Partie VI : Les preuves ordonnent les propositions ... – Partie VII : Le rôle des propositions qui traitent des mesures et ne sont pas des propositions empiriques ... M.-M. V.

Le propos est ici de montrer comment l'intelligence artificielle permet de « poser différemment le problème de la preuve » : l'IA force d'abord à se demander ce qui, dans la preuve, relève d'une autoréférence ; ensuite, comment une connaissance s'expose et soulève, enfin, la question de l'instrumentalisation des connaissances et des automatismes de pensée. La preuve est à l'œuvre dans toutes les activités théoriques et pratiques. Dans la recherche scientifique, on recourt à la preuve pour faire admettre une découverte à une communauté donnée. Une preuve s'administre dans un conflit. Toute preuve apparaît ainsi comme une conséquence de la tension qui règne entre l'intérieur et l'extérieur de la science. Celle-ci se révèle essentielle à la démarche scientifique en tant que telle. L'un des intérêts majeurs de la recherche en intelligence artificielle tient à ce qu'elle permet de soumettre cette tension même à un examen approfondi. Elle mobilise à cette fin toutes les ressources de l'automatisation et de la formalisation. Ce livre, fruit de plusieurs années de recherche collective et internationale, propose les analyses qui permettent de caractériser l'activité probatoire dans l'unité de son projet et la diversité de ses manifestations. – L'ouvrage se divise en quatre parties. La première est constituée par une réflexion philosophique sur le formalisme et l'activité de preuve; la deuxième est plus particulièrement consacrée à la logique; la troisième pose les problèmes des formes d'automatisation de la preuve et déborde sur la quatrième qui traite des activités probatoires dans les sciences humaines. M.-M. V.

Issu d’un travail de séminaire, cet ouvrage collectif interroge la pensée par cas, thème retenu en raison de la pertinence épistémologique que retrouve aujourd’hui une réflexion longtemps délaissée. «La pensée par cas ne s’illustre ni ne se discute comme la pensée des généralisations dont les démarches, plus ou moins complexes, s’inscrivent cependant dans un système fermé de définitions et de règles opératoires». Le problème n’est pas nouveau, comme en attestent dans le long terme des exemples tels que les casuistiques morales, religieuses, juridiques, ou la démarche clinique associée à la tradition médicale. Ces formes anciennes illustrent de façons diverses une voie qui diffère à la fois des déductions formellement nécessaires et de l’expérimentation qui procède par réitération des observations dans des conditions contrôlées. Avec l’usure des grands paradigmes naturalistes ou logicistes, le souci d’une interprétation circonstanciée des singularités étend ses effets méthodologiques à la plupart des sciences de l’homme. Il impose d’associer la particularisation des énoncés aux changements de contextes sur lesquels doit statuer la pensée par cas, et rappelle l’implication réciproque entre l’articulation d’une théorie et la stratégie d’une enquête. – J.-C. Passeron, J. Revel, “Penser par cas. Raisonner à partie de singularités” ; – Yan Thomas, “L’extrême et l’ordinaire. Remarques sur le cas médiéval de la communauté disparue” ; – Karine Chemla, “Le paradigme et le général. Réflexions inspirées par les textes mathématiques de la Chine ancienne” ; – Albert R. Jonsen, Stephen Toulmin, “À quoi sert la casuistique” ; – Serge Boarini, “Collection, comparaison, concertation. Le traitement du cas, de la casuistique moderne aux conférences de consensus” ; – Francis Zimmermann, “La casuistique dans la bioéthique américaine” ; – Jean-Philippe Antoine, “Les Vies de Vasari, l’histoire de l’art et la «science sans nom» des cas” ; – Jacqueline Carroy, “L’étude de cas psychologique et psychanalytique (XIXe siècle-début du XXe siècle) ; – Pierre Livet, “Les diverses formes de raisonnement par cas” ; – Claude Imbert, “Le cadastre des savoirs. Figures de connaissance et prises de réel”. – Notes bas de page ; – Index sélectif des notions et des noms propres ; – Résumés / abstracts des articles en français et en anglais. M.-M. V.

Bolzano fut le premier philosophe à établir une distinction explicite entre les procédés déductifs qui nous permettent de parvenir à la certitude d’une vérité et ceux qui fournissent son fondement objectif. La conception que Bolzano se fait du rapport entre ce que nous appelons ici, d’une part, «conséquence subjective», à savoir la relation de raison à conséquence épistémique et, d’autre part, la «conséquence objective», c’est-à-dire la fondation (Abfolge), suggère toutefois que Bolzano défendait une conception «explicativiste» de la preuve : les preuves par excellence sont celles qui reflètent l’ordre de la fondation objective. Dans cet article nous faisons état des problèmes liés à une telle conception et argumentons en faveur d’une démarcation plus stricte entre la préoccupation ontologique et la préoccupation épistémologique dans l’élaboration d’une théorie de la preuve.

Fitelson and Waterman's ([2005]) principal objection to Strevens's ([2001]) Bayesian treatment of auxiliary hypotheses rests on a misinterpretation of Strevens's central claim about the negligibility of certain small probabilities. The present paper clarifies and proves a very general version of the claim.

I. Quelques aspects de la méthode des Mathématiques selon Platon : L’universalité des définitions et des preuves; Le moment de la découverte; Les raisonnements “hypothétiques”; Les hypothèses de base des mathématiques. – II. Les êtres mathématiques et les sciences mathématiques : Le domaine des mathématiques; Essence et existence; Classifications dans les sciences mathématiques. – III. Le fondement métamathématique : La genèse métamathématique des Nombres; La genèse métamathématique de la Grandeur en-soi; La déduction de l’Univers physique. Conclusion.

Sur les procédures de justification. – Vu des mathématiques; – Preuve et domaine de preuve; – Preuve dans l’activité scientifique; – Les éléments de la preuve; – Logique et preuve; – Aristote et les origines de la logique; – La logique formelle, ses limites, le classique et le moderne; – La position de l’informatique.

L’article explique en quoi la tentative cartésienne marque une étape dans la conception de la preuve, et expose les deux grandes interprétations opposées du cogito. – Introduction; – Le primitif; Le problème du cogito : fait-il partie de la science même qu’il fonde ? (Le cogito comme notion commune de la réflexivité; Le cogito comme mise à distance; La perspective cartésienne d’un sujet inconditionné); – Réflexivité et géométrie (I. Persuasion et conviction; II. La preuve euclidienne en géométrie); – La question de l’argument du cogito. Conclusion d’un raisonnement ou argument autosuffisant (Persuasions); – Les caractères formels du cogito de l’autoréférence comme nouvelle théorie de la preuve, son investissement dans la théorie de la preuve.

La logique paraconsistante permet de raisonner en présence de contradictions et offre par là même une nouvelle conception de la notion de preuve qui s’avère particulièrement intéressante pour l’intelligence artificielle. – Introduction. – 1. Qu’est-ce que la logique paraconsistante ?; – 2. Systèmes de preuves paraconsistantes (Déduction naturelle; Calcul des séquents); – 3. Interprétations et applications des systèmes de preuves paraconsistants.

1. Pourquoi un système doit-il travailler au niveau méta ? (Changer la formulation d’un problème; Étudier les propriétés des preuves); – 2. Créer de nouveaux outils (Pourquoi créer de nouveaux outils ?; Des démonstrations plus intuitives; Des démonstrations plus courtes; Mémorisation de séquences d’opérations; Comment créer de nouveaux outils ?; Composition d’outils existants; Création directe de nouveaux outils; Création par métadémonstration complexe); – 3. Créer de nouveaux concepts; – 4. Travailler au niveau méta-méta (Créer des méta-outils; Analyser le comportement du système au niveau méta); – 5. Quelques résultats.

1. Introduction; – 2. La preuve (Le contexte de la preuve; La confiance en une preuve); – 3. Les preuves non déductives (Cohérence; Confirmation inductive; Abduction); – 4. Preuves par abduction (Une définition formelle; Automatiser l’inférence abductive); – 5. Conclusion.

Dans le traitement informatique de la preuve, trois courants principaux sont distingués, – à tendance formelle, – à tendance cognitive, – à tendance pragmatique. – 1. Introduction; – 2. Construire un démonstrateur adaptatif : un catalogue de problèmes; – 3. Le système de déduction (Le calcul des propositions; Un calcul de séquent); – 4. Généralisation à partir d’exemples; – 5. Généralisation de formules : les macro-connecteurs (Formules à généraliser. Cas particulier : les formules homogènes; Langage des généralisations : les macro-connecteurs; Méthode de généralisation; En résumé); – 6. Généralisation des lemmes (Les concepts à apprendre; Langage des généralisations : les schémas sous contraintes; Propriétés des schémas sous contrainte; Mécanismes de généralisation; En résumé); – 7. Conclusion.

Sur la didactique de la preuve en mathématiques. Les thèses sont expérimentées dans l’environnement d’un logiciel d’apprentissage de la démonstration en géométrie euclidienne. – 1. Introduction; – 2. La preuve en mathématiques à la lumière de l’apprentissage (Explication, preuve et démonstration; Preuves pragmatiques et preuves intellectuelles; Niveaux et types de preuves); – 3. Preuves et réfutations (Les mathématiques, connaissances non formelles; Le problème de la contradicton; Traitement des contre-exemples); – 4. L’épreuve des représentations (Le cas de la géométrie); – 5. Micromonde de preuve (Une écologie artificielle pour la preuve; Micromonde, champ expérimental artificiel; Micromonde de preuve, un agent rationnel semi-empirique); – 6. Conclusion.

Analyse de la déduction et mise en évidence de points de contrôle qui apparaissent dans une preuve effectuée sur une machine. Les raisonnements qui peuvent être menés pour les comparer, les exploiter, les réutiliser sont de nature analogique et ne sont pas eux-mêmes intégrés dans le mécanisme de principe de supervision. – Introduction; Motivations de la déduction automatique; Preuves de la déduction automatique et preuves mathématiques; L’analogie dans les preuves mathématiques et automatiques; Utiliser l’analogie en déduction automatique; Manipulation de preuves; Différence entre deux problèmes; Définir une différence; Analogie utilisant une différence élémentaire; Utilisation plus générale de la différence.

Cet article définit une structure requise minimale appelée «cadre probatoire» pour encadrer la construction d’une preuve. Dans ces cadres, la preuve peut être jugée par quelqu’un comme pourvue de sens, sa formulation est syntaxiquement admissible pour tous et sa construction se fait à l’aide de signes manipulables par une machine. – Introduction; – Adéquation épistémique; – Adéquation ontologique; – Adéquation pragmatique; – Syntaxe du cadre probatoire; – Sémantique du cadre probatoire (Langage formel; Sémantique et syntaxe en logique; La sémantique des mondes possibles); – Définition d’un cadre probatoire minimal; – Formaliser les lois et les comportements des machines; – Pour les couches physiques; – Cadre probatoire euclidien; – Pour les couches symboliques (Le programme comme preuve; La preuve comme programme); – La construction à la règle et au compas; – Le jeu de la preuve et de l’épreuve.

Cet article porte sur la participation de la langue à la preuve logique : la langue agit pour formuler les énoncés et l’agencement des énoncés d’une preuve. – Introduction; – i. Règle, déduction et preuve; – Propriétés des systèmes déductifs; – 3. Langage, règles et déduction grammaticale.

La thèse centrale ici est que le langage sert à la construction et à l’énonciation d’un processus de catégorisation qui positionne le locuteur et les choses face au monde. L’auteur s’appuie essentiellement sur la conception catégorielle d’Aristote. – Ontologie et représentation du monde; – Des rapports entre langage et ontologie; – Engagement du sujet et ontologie de la preuve; – Le langage et la preuve testimoniale; – Le «système langue» et les jeux de la dénomination; – Valeurs relationnelles et dynamiques cognitives; – Les opérations de la preuve en langue et discours.

L’article met en évidence une inversion qui se produit entre la science et le droit dans la pratique des juristes. La preuve scientifique repose sur une démonstration entendue comme l’établissement d’une cohérence avec d’autres propositions tenues pour vraies; l’administration scientifique de la preuve s’appuie sur un protocole expérimental rigoureux. En revanche, la preuve juridique repose sur la démonstration entendue comme la persuasion de la réalité et de la qualité d’un fait ou d’un acte. – I. Le contrat organise l’établissement de la preuve (Le contrat formalise la preuve; Le contrat aménage la preuve); – II. Le contrat supprime l’établissement de la preuve (Le contrat allège la preuve; Le contrat abolit la preuve).

Ce dernier article réfléchit sur la preuve dans les sciences humaines qui veulent user du formalisme de l’IA. Il pose le problème de la validité de l’IA en archéologie et plus particulièrement dans les sciences humaines. Il se place dans le champ de l’apprentissage car on y discerne l’émergence des règles d’inférence. – 1. L’épreuve de l’intelligence artificielle dans les sciences humaines; – 2. Exemples d’applications (PALAMEDE, PLATA, Conclusion); – 3. De l’épreuve à la preuve.

Cet article présente et compare deux ouvrages correspondant à deux approches de l'histoire des sciences. – Le premier, Electrodynamics from Ampère to Einstein de Olivier Darrigol (Oxford, Oxford University Press, 2000, 532 p.) expose les grands faits de l'histoire de l'électrodynamique au XIXe siècle. L'A. le présente comme « une somme incontournable » (p. 452) parcourue notamment par le thème de la « communication entre les traditions scientifiques » (p. 451). – Le second, Heinrich Hertz. L'administration de la preuve de Michel Atten et Dominique Pestre (Paris, PUF, coll. « Philosophies », 2002, 128 p.) traite d'une seule expérience de Hertz en tant qu'elle constitue une « réflexion philosophique sur l'administration et la réception de la preuve dans les sciences physiques » (p. 443). L'A. explique entre autres qu'une telle démarche veut « raconter une histoire, telle qu'elle fut perçue, vécue » (p. 444) par souci de fidélité et parce que la science est « avant tout une activité humaine » (p. 445).

Introduction; – The Framework; – Existential Strategy for Standard Structures; – The Universal Strategy; – Proof Systems for the Existential Strategy; – Future Research.

This paper arose out of a study of the notes that Joseph Agassi and Czeslaw Lejewski took at Karl Popper's seminar on Logic and Scientific Method (1954–1955). It ponders on a basic logical distinction Popper had made : between sound inference (valid inference with sound premises) and proof (a collection of inferences that show that a given sentence follows from any premise). The difference between sound inference and proof seems crucial to Popper's epistemology, especially to his emphasis on the distinctness of epistemology and methodology. In this paper, (1) The distinction is explained; (2) The difference is presented as the basis for Popper's view of the history of logic; (3) Some modern hesitations about all this are discussed.

This Chapter presents four documents that, in different ways, illustrate Hilbert’s thinking on the foundations of physics. The first document is a set of page proofs for Hilbert’s “First Communication” on the “Foundations of Physics” (Hilbert 1915, this Volume pp. 28ff.). These proofs differ significantly from the published version, in particular with regard to Hilbert’s discussion of the energy concept and, consequently, with regard to the explicit axiomatic structure of the theory. The second document is a brief sketch of notes for what appears to be a talk on his theory of the “Foundations of Physics,” given some time after mid-December 1915, in which Hilbert concentrates on the representation of matter qua electricity in his new, generally covariant and unified theory of gravitation and electromagnetism. The third document is the typescript of a lecture, given in December 1916, on the causality principle in general relativity. The fourth document is a batch of handwritten notes for a series of lectures on space and time, delivered to German soldiers in Bucharest, Romania, in March 1918.

Cet ouvrage se donne pour objectif d'interroger le statut de la preuve en préhistoire et en paléontologie à travers une réflexion sur la notion de trace afin de montrer l'originalité scientifique de ces disciplines. En quoi ces sciences historiques de la nature se distinguent-elles radicalement des sciences formelles (déductives) et des sciences expérimentales (inductives), de sorte à former une troisième catégorie de sciences ? Quel type d'inférences mettent-elles en oeuvre pour qu'une telle distinction soit fondée ? L'enjeu de cette réflexion épistémologique consiste à montrer que les procédés méthodologiques utilisés dans ces disciplines participent d'une stratégie de preuve originale que l'auteur nomme « la méthode de Zadig », en référence à un épisode du conte philosophique de Voltaire Zadig ou la destinée (1747), dans lequel le héros éponyme est capable d'inférer l'identité d'un animal par la seule observation de traces et d'empreintes matérielles. La première partie présente la fécondité de la science des traces fossiles, la paléoichnologie, qui fait figure de paradigme pour la réflexion paléontologique (« Empreintes et pistes »). La seconde interroge les fondements épistémologiques, les présupposés et les résultats des procédures de la reconstitution en paléontologie (« Preuves et reconstitutions »). L'auteure présente dans un dernier temps une réflexion concentrée sur les procédures systématiques d'authentification et de datation objectives à partir desquelles les scientifiques tentent de reconstituer la vie aux temps préhistoriques (« Faux et authenticité »).

F. F.

Multiple-conclusion logic extends formal logic by allowing arguments to have a set of conclusions instead of a single one, the truth lying somewhere among the conclusions if all the premises are true. The extension opens up interesting possibilities based on the symmetry between premises and conclusions, and can also be used to throw fresh light on the conventional logic and its limitations. This is a sustained study of the subject and is certain to stimulate further research. – Part I reworks the fundamental ideas of logic to take account of multiple conclusions, and investigates the connections between multiple - and single - conclusion calculi. – Part II draws on graph theory to discuss the form and validity of arguments independently of particular logical systems. – Part III contrasts the multiple - and the single - conclusion treatment of one and the same subject, using many-valued logic as the example; and – Part IV shows how the methods of 'natural deduction' can be matched by direct proofs using multiple conclusions. – Contents : Preface; Introduction; – Part I. Multiple and Single Conclusions; – 1. Single-conclusion calculi; – 2. Multiple-conclusion calculi; – 3. Tree proofs; – 4. Axiomatisability; – 5. Counterparts; – 6. Infinite rules; – Part II. Graph Proofs; – 7. Graph arguments; – 8. Kneale proofs; – 9. Cross-reference; – 10. Abstract proofs; – 11. Single-conclusions proofs; – 12. Infinite proofs; – Part III: Many-valued Logic; – 13. Many-valued calculi; – 14. matrices; – 15. Many-valuedness; – 16. Counterparts; – 17. Categoricity; – 18. Two-valued logic; – 19. Axiomatisation; – Part IV. Natural Deduction; – 20. Natural Deduction. – Includes index; Bibliography: p. [386]-389.

[Texte remanié de : Thèse de doctorat, sous la direction de Jacques Bouveresse : Philosophie : 2 vol. : Université Paris Panthéon-Sorbonne : 1994 : 697 p.]. – Cet ouvrage porte sur la théorie de la justification du philosophe Jakob Friedrich Fries (1773-1843), un des grands architectes de la philosophie allemande au XIXe siècle, dont l'oeuvre a été injustement occultée par l'historiographie philosophique au profit de celles des grands représentants de l'idéalisme spéculatif (Fichte, Schelling, Hegel). La théorie friesienne est une relecture et une contestation de la théorie kantienne de la justification de nos connaissances métaphysiques, telle qu'elle est exposée dans la Critique de la raison pure au moment de la « Déduction transcendantale ». La critique adressée à Kant par Fries est qu'il n'a pas su distinguer la connaissance transcendantale et son objet (la connaissance a priori à laquelle elle se rapporte). Ce qui l'a conduit à méconnaître la nature psycho-empirique de la connaissance transcendantale. En d'autres termes, la déduction transcendantale bien comprise doit être selon Fries une déduction anthropologique. La question kantienne de droit doit donc devenir une question de fait. La justification des jugements métaphysiques fondamentaux passe ainsi par la monstration d'une connaissance rationnelle immédiate et non intuitive que ces principes suprêmes ne font que répéter. La connaissance n'est donc plus un problème, mais un fait relevant d'une science empirique de l'esprit : la psychologie. Il existe donc selon Fries une autre procédure que celle de la preuve pour justifier les principes métaphysiques : à savoir la monstration de ce qui les fonde. Cette méthode critique, psycho-transcendantale, c'est-à-dire anthropologique, qui est une démarche analytique et régressive conduisant à la justification, Fries la nomme spéculation. La spéculation consiste ainsi à mettre au jour les connaissances immédiates de la raison sur lesquelles sont fondés ces jugements premiers que sont les principes métaphysiques. Une telle théorie de la justification, pour être complète, exige ainsi une théorie de l'induction, car seule cette dernière est en mesure de rendre compte des procédures de justification mises en oeuvre dans les sciences de la nature. L'induction rationnelle prenant selon Fries deux formes : l'induction au sens strict, c'est-à-dire la soumission d'une classe de phénomènes à des lois universelles (par exemple les lois du mouvement des planètes autour du soleil établies par Kepler) ; et l'hypothèse, c'est-à-dire la détermination expliquant la soumission d'une classe de phénomènes à des lois (par exemple : l'explication des lois de Kepler par la force d'attraction établie par Newton). En situant Fries dans le contexte des premiers lecteurs de Kant et en présentant la pertinence de sa théorie de la justification et de sa théorie anthropologique de la raison, ce livre, fortement documenté, renouvelle notre compréhension du postkantisme. La présente étude comporte deux appendices : le premier est un aperçu historique sur Fries et l'école friesienne ; le second, la traduction de l'essai de Fries intitulé Sur les rapports de la psychologie empirique à la métaphysique (1798). – Appendices, pp. 279-303 ; Bibliographie, pp. 305-323 ; Index nominum, pp. 325-327 ; Table des matières, pp. 329-331.

F. F.

Concept central de l'informatique, outil de démonstration à la fois efficace et rapide, l'algorithme introduit un nouveau principe de fonctionnement technologique, c'est-à-dire à la fois une nouvelle manière de penser et une nouvelle façon d'explorer la nature. Qu'est-ce qu'un algorithme ? C'est une séquence d'instructions à suivre pour parvenir à un résultat en un temps fini, soit un programme pilotant l'exécution d'un calcul sur des données appartenant à une classe de problèmes. Or comme le montre l'auteur dans la première partie de sa Leçon inaugurale (n° 229) au Collège de France au sein de la Chaire annuelle d'Informatique et sciences numériques, une classe de problèmes est définie par la complexité de l'algorithme permettant de les résoudre. L'algorithmique distingue ainsi trois classes de problèmes auxquelles sont corrélées trois classes de complexité algorithmique : polynomiale (classe P), exponentielle (classe EXP) et non déterministe polynomiale (classe NP). Après avoir exposé la typologie de la complexité algorithmique, l'auteur nous montre un des résultats révolutionnaires apporté par l'informatique théorique : la trivialisation de la vérification continue d'une chaîne démonstrative grâce à l'aléa algorithmique, qui, outillé au moyen de l'algorithme PCP, a permis de révolutionner « notre conception mathématique et épistémologique de la preuve. » (p. 75) Dès lors, si les équations mathématiques – celles de Newton, Maxwell, Boltzmann, Einstein et Schrödinger – ont fait le succès de la physique (dans la mesure où elles permettent d'expliquer la quasi-totalité des phénomènes physiques de notre univers), c'est en revanche l'algorithme qui se présente actuellement comme un puissant outil d'appréhension des phénomènes collectifs, qu'ils soient naturels (une volée d'oiseaux, une construction de termitière, un banc de poissons, etc.), sociaux (un groupe d'individus, un réseau social, etc.) ou biologiques (des réseaux neuronaux, des circuits cellulaires, des réseaux protéiques, etc.). Comme l'écrit Bernard Chazelle en conclusion de sa Leçon inaugurale : « si les sciences nouvelles se parlent, leur langage est sans aucun doute l'algorithmique. Les algorithmes naturels nous donnent un langage. À nous de le lire, de le déchiffrer, et de s'émerveiller de la littérature de la nature » (p. 102). – 1. Introduction : La complexité algorithmique ; 2. Et Turing arriva à Princeton : Universalité – Dualité – Autoréférence ; 3. Peut-on automatiser la créativité ? ; 4. Pile ou face : Que sais-je ?  – La magie du PCP – Quelle est l'idée du PCP ? – La logique du PCP – L'algèbre du PCP ; 5. Les algorithmes naturels : Les systèmes d'influence – Les nuées d'oiseaux – Les systèmes d'influence diffusifs.

F. F.

Cet ouvrage constitue – après Savoir et pouvoir en médecine (Paris, Les Empêcheurs de penser en rond, 1998) – le second volume des écrits de François Dagognet. Véritable boîte à outils, l'ouvrage se divise en quatre compartiments. Qu'est-ce que l'épistémologie ? Telle est la question au centre de la première section de l'ouvrage, dans laquelle l'auteur traite successivement de ses trois figures (1° l'épistémologie comme recherche des conditions de possibilité du savoir, 2° l'épistémologie comme effort de mise au jour des obstacles épistémologiques, 3° l'épistémologie comme travail de dégagement a posteriori d'une méthode de découverte), de deux de ses problèmes majeurs (ceux de la preuve et de la mesure), de la transposition analogique de ses méthodes (l'interdépendance entre les disciplines du savoir) et enfin d'un exemple paradigmatique – l'épistémologie de la biomédecine – dans la mesure où cette dernière a servi à l'auteur de modèle pour dégager ce qu'il appelle « la triade épistémologique », soit les conditions techno-logiques de possibilité du savoir, objet de la seconde section de l'ouvrage. Ces dispositifs techno-logiques intellectuels sont : le graphe, le mot et la classe. La troisième section étudie les rapports entre épistémologie et ontologie, i.e. entre nos catégories de pensée et les architectures matérielles. C'est pourquoi elle rassemble des articles sur la question du corps et des corps, sur l'ontologie matérielle (i.e. la vraie compréhension d'un corps ou d'un être), l'ontologie formelle (i.e. la systématique qui relie ces corps), le schème arborescent (i.e. la forme de cette systématique selon l'auteur), la positivité des supports et des matériaux dans la constitution et la transformation des ontologies. La quatrième et dernière section propose un examen critique de l'image de la science telle qu'elle est vue dans nos sociétés ainsi que les éléments d'une pédagogie pour un partage démocratique de ses découvertes et de ses résultats, la didactique constituant selon l'auteur « l'un des rameaux les plus prometteurs d'une épistémologie soucieuse de transmettre la scientificité ». – Sommaire, pp. 7-8 ; I. Le champ épistémologique ; II. La triade épistémologique ; III. Une épistémologie ontologisante ; IV. Une épistémologie sociologisante.

F. F.

This book is about philosophy, mathematics and logic, giving a philosophical account of Pluralism which is a family of positions in the philosophy of mathematics. There are four parts to this book, beginning with a look at motivations for Pluralism by way of Realism, Maddy’s Naturalism, Shapiro’s Structuralism and Formalism. – In the second part of this book, the author covers: the philosophical presentation of Pluralism; using a formal theory of logic metaphorically; rigour and proof for the Pluralist; and mathematical fixtures. – In the third part, the author goes on to focus on the transcendental presentation of Pluralism, and in part four looks at applications of Pluralism, such as a Pluralist approach to proof in mathematics and how Pluralism works in regard to together-inconsistent philosophies of mathematics. The book finishes with suggestions for further Pluralist enquiry. – In this work, the author takes a deeply radical approach in developing a new position that will either convert readers, or act as a strong warning to treat the word ‘pluralism’ with care. – Table of contents; Introduction. – Part I. Motivating the Pluralist Position from Familiar Positions.- Chapter 1. Introduction. The Journey from Realism to Pluralism.- Chapter 2. Motivating Pluralism. Starting from Maddy’s Naturalism.- Chapter 3. From Structuralism to Pluralism.- Chapter 4. Formalism and Pluralism Co-written with Andrea Pedeferri.- Part II. Initial Presentation of Pluralism.- Chapter 5. Philosophical Presentation of Pluralism.- Chapter 6. Using a Formal Theory of Logic Metaphorically.- Chapter 7. Rigour in Proof Co-written with Andrea Pedeferri.- Chapter 8. Mathematical Fixtures.- Part III. Transcendental Presentation of Pluralism.- Chapter 9. The Paradoxes of Tolerance and the Transcendental Paradoxes.- Chapter 10. Pluralism Towards Pluralism.- Part IV. Putting Pluralism to Work. Applications.- Chapter 11. A Pluralist Approach to Proof in Mathematics.- Chapter 12. Pluralism and Together-Inconsistent Philosophies of Mathematics.- Chapter 13. Suggestions for Further Pluralist Enquiry.- Conclusion.​

Cet article porte sur le logicisme frégéen au sens large, c’est-à-dire sur l’effort mis en œuvre par Frege pour dégager la logique de la déduction au cœur de toute pratique discursive (Parties I et II). Dans un second temps, il s’attache à montrer plus particulièrement celle qui règle la justification logique de l’arithmétique, et dont les concepts fondamentaux (identité, concept, objet, relation) permettent à Frege de proposer une redéfinition du nombre, purement logiciste (Partie III). Dans un dernier temps, l’auteur interroge l’effort mis en œuvre par Frege pour donner les preuves au fondement de la vérité des propositions arithmétiques élémentaires (Partie IV). – I. Introduction ; II. La justification logique des mathématiques ; III. Le statut de l’analyticité et de la définition logique du nombre ; IV. La question des vérités primitives.

F. F.

Cet article vise à montrer la double fécondité de la notion d’application en mathématiques : 1° d’un point de vue intrinsèque (i.e. au sein des mathématiques) et 2° d’un point de vue extrinsèque (i.e. dans d’autres disciplines). Une première partie interroge la signification en mathématique, plus particulièrement celle du nombre en arithmétique, ce qui permet à l’auteur – en s’appuyant sur Russell – de poser le problème de l’application des systèmes numéraux à la réalité (pour la nombrer et la quantifier). D’une interrogation sur le sens des termes mathématiques, l’auteur passe à la question du sens des énoncés mathématiques. Il déplace ainsi la question du sens des mathématiques de la détermination de la référence des objets (perspective essentialiste, structurale et statique) à la détermination de la méthode de production des preuves des énoncés (perspective « opérationnaliste » qui ne sépare pas l’objet mathématique de sa méthode de construction, i.e. le sens mathématique de l’effectivité calculatoire). Enfin dans une troisième et dernière partie, à partir des travaux du second Wittgenstein (i.e. celui des Recherches philosophiques) l’auteur examine cette question du sens de l’énoncé mathématique relativement à son contexte d’application. – I. Le problème de la signification mathématique ; II. La détermination du sens : preuve / calcul et application ; III. L’extériorité intrinsèque de l’application.

F. F.

The growth of science and a correspondingly scientific way of looking at evidence have for the last three centuries slowly been gaining ground over religious explanations of the cosmos and mankind's place in it. However, not only is secularism now under renewed attack from religious fundamentalism, but it has also been widely claimed that the scientific evidence itself points strongly to a universe deliberately fine-tuned for life to evolve in it. In addition, certain aspects of human life, like consciousness and the ability to recognise the existence of universal moral standards, seem completely resistant to evolutionary explanation. In this book Colin Howson analyses in detail the evidence which is claimed to support belief in God's existence and argues that the claim is not well-founded. Moreover, there is very compelling evidence that an all-powerful, all-knowing God not only does not exist but cannot exist, a conclusion both surprising and provocative. – Howson provides us with a challenging, book. Not only does it bring new atheism into the realm of academia proper, but it pushes strongly and unapologetically against the current trend in religious studies within the context of liberal political correctness to treat religious belief with immense delicacy, as unquestionable and above criticism. … His moral argumentation is most compelling: the economy and directness of his discussion of practical consequences of belief in God and of acts committed in His name makes this an exciting and crucial work. – Table of contents : Preface. – 1. The trouble with God; 2. God unlimited; 3. How to reason if you must; 4. The well-tempered universe; 5. What does it all mean?; 6. Moral equilibrium; 7. What is life without thee?; 8. It necessarily ain't so. – Includes bibliographical references (p. 211-216) and index.

Dans quelles circonstances et à quel moment est né ce mode de raisonnement si particulier, procédant par transfert de nécessité, qu’on appelle le raisonnement mathématique ? Qu’est-ce qu’une preuve mathématique ? Comment s’établit-elle? Quelles sont les différentes méthodes qui permettent de l’exposer? Ces méthodes sont-elles transposables d’une discipline à une autre ? Dès lors, comment les disciplines mathématiques communiquent-elles entre elles ? Quel est le moteur de leur évolution et quelle est la nature de cette évolution ? Par quels procédés s’enrichissent-elles mutuellement ? Quelle est la différence entre mathématiques pures et mathématiques appliquées ? D’où provient cette distinction ? Est-elle fondée? Comment s’est-elle construite historiquement ? En bref, pourquoi y a-t-il, somme toute, une philosophie des mathématiques ? Quelles grandes tendances l’ont animée durant son histoire ? Quelles controverses l’animent actuellement ? Telles sont les questions au centre de cet ouvrage d’une grande érudition. Le chapitre 1 discute quelques grandes activités mathématiques : 1° l’élaboration de procédés d’administration de la preuve (méthodes intuitionniste ou formaliste) ; 2° l’application d’opérations et de constructions (analogies) d’une discipline vers une autre (de l’algèbre vers la géométrie, de la théorie des nombres vers la géométrie, etc.) ; 3° l’invention de technologies graphiques (comme les diagrammes), qui transforment le milieu dans lequel s’inscrivent les virtualités mathématiques. Ces transformations graphiques sont révolutionnaires, car elles modifient radicalement les possibilités de penser les objets mathématiques (comme l’espace par exemple), et par voie de conséquence, les modes de production et de compréhension des différentes disciplines mathématiques, ouvrant ainsi la question d’une économie et d’une herméneutique formelles. Selon l’auteur – s’inspirant de Putnam – deux expériences de la raison sont au fondement de la pérennité des mathématiques (chapitre 2): l’expérience mathématique (qui est une expérience de la preuve) et l’expérience physique (qui est une expérience de l’application des mathématiques à une autre réalité que la sienne, en l’occurrence une réalité actuelle). Autrement dit, l’expérience mathématique puise son endo-consistance virtuelle dans l’axiomatique qui la formalise et son exo-consistance actuelle dans les modèles physiques qui la réalisent : entre cette endo-consistance et cette exo-consistance, se situent les seuils de trans-consistance à double face (virtuelle et actuelle) que sont les technologies intellectuelles (en tant qu’elles supportent cette technique virtuelle qu’est la mathématique) et les technologies matérielles (incarnant en tant qu’instruments scientifiques les théories mathématiques appliquées et constituant ainsi de véritables « théories matérialisées » comme l’avait très bien vu Bachelard). Dès lors, un dépassement du matérialisme biologique radical (Changeux) et de l’idéalisme platonicien sans concession (Connes) semble possible au sein d’une véritable épistémologie historique des mathématiques qui articule scrupuleusement biologie du cerveau (i.e. organologie physiologique), étude des pratiques savantes contextualisées et historiquement situées (i.e. organologie sociale et politique des organisations savantes) et technologies intellectuelles et matérielles (i.e. organologie des artefacts) : épistémologie historique que Reviel Netz a appelé une « histoire cognitive » (cognitive history) (chapitre 3). Ainsi, Ian Hacking nous propose dans un quatrième chapitre une petite histoire de l’invention de la démonstration dans la pratique mathématique grecque de l’Antiquité par la détermination et la définition des notions cardinales de fait, théorème et preuve, ainsi que des liens qui les unissent au sein d’une construction universelle : un théorème (proposition vraie) doit être indexé à un fait (relation objective), justifié dans un enchaînement de traces (démonstration) et exemplifié dans une preuve singulière (par exemple telle preuve que l’on peut trouver dans les Éléments d’Euclide). Le chapitre 5 nous présente alors une histoire critique de la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées et propose une typologie des formes d’applications (Hacking en distingue sept). Enfin, les chapitres 6 et 7 exposent l’évolution des débats entre platonistes et antiplatonistes au cours de l’histoire des mathématiques, dont les deux grands représentants actuels sont les mathématiciens Timothy Gowers (1963-) et Alain Connes (1947-). Par la teneur de son érudition et l’étendue des connaissances qu’on y trouve, ce livre représente un excellent compendium d’histoire et de philosophie des mathématiques, écrit par l’un des grands maîtres de l’histoire et de la philosophie des sciences contemporaines. – Table des matières, vii-xii ; Avant-propos de l’auteur, xiii-xv ; Notes, pp. 258-262 ; Références bibliographiques, pp. 262-280 ; Index, pp. 281-290.

F. F.

In what circumstances and at what point in time was mathematical reasoning born, this very particular form of reasoning which procedes by movements of necessity ? What is a mathematical proof ? How is one established ? What are the different methods that allow it to be presented ? Are these methods transposable from one mathematical discipline to another ? If so, how do mathematical disciplines relate to each other? What is the engine and the nature of their evolution? What procedures allow these disciplines to enrich one another? What is the difference between pure and applied mathematics ? Where does this distinction come from ? Is it well-founded ? How has it been historically constructed ? And in short, why is there a philosophy of mathematics at all ? What are the large trends within its history ? And what are its current controversies ? These are the questions at the heart of this greatly erudite work. The first chapter discusses certain general activities of mathematics : 1. the elaboration of procedures of coming to proofs (intuitionist or formalist methods); 2. the application of operations and constructions (analogies) from one discipline to another (from algebra to geometry, from the theory of numbers to geometry, etc.); and 3. the invention of graphic technologies (such as diagrams), which transform the field of mathematical virtualities. These graphic transformations are revolutionary, as they radically modify the ways we conceive mathematical objects (such as space), and therefore, the means of production and comprehension of different mathematical disciplines – which thus opens up the question of a formal economy and a formal hermeneutics. According to the author, following Putnam, two experiences based in reason are the ground of the perennial nature of mathematics (chapter 2) : the mathematical experience (which is an experience of proof) and the physical experience (which is an experience of the application of mathematics to another reality that its own, in this case actual reality). In other words, the mathematical experience finds its internal virtual consistency in the axiomatics which formalizes it, and it finds its external actual consistency in the physical models which apply it. Between this internal virtual consistency and this external actual consistency can be found the thresholds of intermediary consistency, which are two-sided (virtual and actual) : these are the intellectual technologies (in as much as they support the virtual technics which is mathematics) and the material technologies (which, as scientific instruments, incarnate the applied mathematical theories and thus constitute veritable « materialized theories », as Bachelard demonstrated well). At this point, it seems possible to surpass both biological materialism (Changeux) and uncompromising platonic idealism (Connes), within a true historical epistemology of mathematics which scrupulously joins brain biology (that is, physiological organology), the study of historically contextualized scholarly practices (that is, the social and political organology of scholarly organizations), and intellectual and material technologies (that is, the organology of artefacts). This leads to historical epistemology which Reviel Netz called a « cognitive history » (chapter 3). Thus, Ian Hacking offers, in the fourth chapter, a short history of invention and demonstration in ancient Greek mathematical practice, through the determination and definition of the cardinal notions of fact, theoreme and proof, as well as the links that unite them within a universal construction : a theoreme (true proposition) should be indexed upon a fact (objective relation), justified within a chain of visual reasoning and graphic symbols (demonstration) and exemplified in a singular proof (for example, a proof found in Euclid's Elements). Chapter 5 then presents a critical history of the distinction between pure and applied mathematics and offers a typology of the forms of applications (Hacking points to seven of them). Finally, chapters 6 and 7 present the evolution of the debates between platonists and antiplatonists throughout the history of mathematics, an ongoing debate whose current representatives are mathemeticians Timothy Gowers (1963-) and Alain Connes (1947-). Through the strength of erudition and the wide extent of scholarly knowledge found here, this book represents an excellent synthesis of the history and the philosophy of mathematics, written by one of the great masters of the history and the philosophy of contemporary science. – Table of contents, vii-xii ; Author's preface, xiii-xv ; Notes, 258-262 ; Bibliographical references, 262-280 ; Index, 281-290.

F. F.