L’objectivité mathématique est au centre de nombreux débats logiques et philosophiques. L’opposition platonisme-nominalisme héritée de la tradition a évolué vers une discussion plus technique, qui conjugue des positions complexes. Le présent ouvrage se veut ainsi un carrefour disciplinaire entre logiciens, mathématiciens et philosophes : ils y décrivent le déplacement progressif de la question de l’objet non sensible vers celle, plus ancrée dans la pensée mathématique, de l’objet infinitaire ou de l’objet structural. Les compétences multiples mises ici à contribution font apparaître que les positions «platoniciennes» sont aujourd’hui non seulement possibles, mais plurielles et, pour beaucoup d’entre elles, affranchies de tout ontologisme sommaire. La discussion confronte la pensée platonicienne aux enjeux logico-mathématiques contemporains et dégage ainsi la pertinence critique du platonisme mathématique. L’ouvrage aborde en outre la question proprement dite des fondements des mathématiques. Les thèmes majeurs sont débattus sous des angles variables et opposés : le finitarisme et la constructivité, la portée et la légitimité des axiomes infinitisants de la théorie des ensembles, la valeur gnoséologique de la théorie des modèles ... Les résultats les plus récents dans ces domaines sont alors mis en perspective au sein de nouvelles antinomies et d’une problématique évolutive. M.-M. V.

Philosophe de la connaissance, J. V. poursuit ici ses réflexions sur la signification mathématique exacte du projet platonicien et sur les modèles mathématiques qui ont inspiré le philosophe. À travers l’examen de diverses questions d’histoire des mathématiques pythagoriciennes et platoniciennes en rapport avec la philosophie de Platon. Il combine ainsi une histoire des mathématiques et une histoire de la philosophie, nourrissant son enquête dans chacune des disciplines par sa réflexion sur l’autre. Trois tâches s’imposent : – la première, philologico-historique, consiste en un nouvel examen critique des sources , – la deuxième, mathématique, vise à dégager et à reconstruire les algorithmes, les procédés et les principes organisateurs de l’arithmétique pythagoricienne et platonicienne, – la troisième, synthétique, doit articuler les modèles fournis par cette arithmétique aux thèmes philosophiques du platonisme. La prise en compte combinée de cette triple exigence permet d’éclairer d’un jour nouveau le champ des études platoniciennes, de fournir une histoire thématique de l’arithmétique pré-euclidienne et, enfin, de contribuer à dégager, au-delà de l’histoire des mathématiques et de la philosophie anciennes, certains problèmes de la philosophie de la connaissance de notre temps. – Étude I, «De la division des nombres en puissances de facteurs premiers» ; – Étude II, «Nombres triangles et nombres polygones» ; – Étude III, «À quoi pouvaient servir les nombres triangles des pythagoriciens ?» ; – Étude IV, «Philosophie de la connaissance» ; – Étude V, «La méthode platonicienne de division et ses modèles mathématiques» ; – Étude VI, «Reconstruction de l’équation générale de récurrence des nombres diagonaux et latéraux et de sa spécialisation pour v7». – Les Études I et V sont des versions corrigées d’un article paru dans Philosophia Scientiæ, (3) 3, 1998-1999, pp. 1-62, sous le titre «La méthode platonicienne de division et ses modèles mathématiques» ; – L’Étude IV est parue dans l’Annuaire du Collège de France 1989-1990, Résumé des cours et travaux, 90e année, pp. 417-436. – Notes bas de page ; – Bibliogr. pp. 151-152. M.-M. V.

Without Abstract

I. Quelques aspects de la méthode des Mathématiques selon Platon : L’universalité des définitions et des preuves; Le moment de la découverte; Les raisonnements “hypothétiques”; Les hypothèses de base des mathématiques. – II. Les êtres mathématiques et les sciences mathématiques : Le domaine des mathématiques; Essence et existence; Classifications dans les sciences mathématiques. – III. Le fondement métamathématique : La genèse métamathématique des Nombres; La genèse métamathématique de la Grandeur en-soi; La déduction de l’Univers physique. Conclusion.

Le modèle mathématique de la science et la réminiscence; Mathématiques et dialectique; Les apories de la science; Le platonisme des mathématiques.

Pour Platon, une cosmologie doit être en mesure de répondre à deux questions : – 1, à quelles conditions le monde sensible peut-il devenir connaissable ?; – 2, comment arrive-t-on à le décrire ? Pour devenir objet de connaissance et objet de discours, le monde sensible doit présenter, dans son changement même, quelque chose qui ne change pas, qui présente une permanence véritable et donc se retrouve identique dans tous les cas. À cette exigence, Platon répond en faisant cette hypothèse bifrons : il existe un monde de formes intelligibles, réalités immuables et universelles faisant l’objet d’une connaissance et d’un discours vrais, et auxquelles participent les réalités sensibles qui n’en sont que les copies. – Astronomie; – Physique et chimie : Les éléments; Le nombre des éléments; La constitution des éléments; La transformation mutuelle de trois de ces éléments; Les mathématiques et leurs limites; Le problème du changement; – La vérification expérimentale : Les limites techniques; Préjugé théorique.

1. Relire Platon: 2. Pourquoi la pensée pure est-elle compétente pour comprendre le réel ?; 3. La caverne de l’arithmétique.

1, Platonisme ontologique, platonisme transcendantal; 2, Platon, ou la duplicité de la science; 3, Réalisme, objectivisme, platonisme; 4, Frege : platonisme ontologique ou platonisme syntaxique ?: 5, Objets et concepts; 6, Incomplétude syntaxique, preuves par l’absurde et axiomes d’existence.

Introduction; 1, La question philosophique du platonisme; 2, Détermination projective, grands cardinaux et théorie descriptive des ensembles; Conclusion.

Conclusions.

Among “the great generation”, Popper claims, Socrates has contributed more than any other intellectual to the new faith of the open society and even died for it (Popper 1945, Vol. 1, pp. 128, 189). Bearing on the ‘Socratic problem’, Popper insisted that the historical Socrates, especially in the Crito and the Apology, didn't have any metaphysical theory nor made any effort to theorize (ibid., pp. 301–302). While also acknowledging that the figure of Socrates in the later early period dialogues, in Gorgias for example (ibid., pp. 302–303), gradually becomes more positive and assertive, these theories are attributed to Plato. However, Poper didn't discuss more systematically Socrates' theories in the early dialogues, which according to later commentators (Vlastos 1991; Prior 2004) play a significant role. Do these theories justify a different understanding of Socrates? Trying to answer this question I will re-examine Popper's portrayal of Socrates by focussing on his figure as a claimer of knowledge in three prominent early dialogues: the Apology, the Protagoras and the Meno. I suggest that, while all his claims of knowledge are compatible with ‘Platonist’ doctrines, the ‘Socratic’ principles are due to the explicit and implicit criticism of these claims through the dialogue. In this respect whereas the ‘Socratic’ principles aren't manifested in the Apology, although reminded in the trial, they are better manifested in the Protagoras and the Meno, at least partly.

Richard Tieszen presents an analysis, development, and defense of a number of central ideas in Kurt Gödel's writings on the philosophy and foundations of mathematics and logic. Tieszen structures the argument around Gödel's three philosophical heroes - Plato, Leibniz, and Husserl - and his engagement with Kant, and supplements close readings of Gödel's texts on foundations with materials from Gödel's Nachlass and from Hao Wang's discussions with Gödel. As well as providing discussions of Gödel's views on the philosophical significance of his technical results on completeness, incompleteness, undecidability, consistency proofs, speed-up theorems, and independence proofs, Tieszen furnishes a detailed analysis of Gödel's critique of Hilbert and Carnap, and of his subsequent turn to Husserl's transcendental philosophy in 1959. On this basis, a new type of platonic rationalism that requires rational intuition, called 'constituted platonism', is developed and defended. Tieszen shows how constituted platonism addresses the problem of the objectivity of mathematics and of the knowledge of abstract mathematical objects. Finally, he considers the implications of this position for the claim that human minds ('monads') are machines, and discusses the issues of pragmatic holism and rationalism. – Contents : Preface. – 1. Setting the Stage; – 2. Consistency, and the Ascent to Platonic Rationalism; – 3. Gödel's Path From Hilbert and Carnap to Husserl; – 4. A New Kind of Platonism; – 5. Consciousness, Reason, and Intentionality; – 6. Constituted Platonism, Reason, and Mathematical Knowledge; – 7. Minds and Machines; – 8. Reason, Science, and Evidence.

L'auteur examine le nominalisme de l'autruche, une forme radicale de nominalisme selon laquelle il ne faut pas s'engager dans l'enquête métaphysique sur le statut des propriétés. Il examine différents arguments avancés à l'encontre de la position et conclut que ces derniers ne sont pas probants. Il propose ensuite un argument qu'il juge plus satisfaisant à l'encontre du nominalisme. Il propose ensuite une théorie d'inspiration platonicienne de l'instanciation, qui partage certains traits avec le nominalisme de l'autruche. B.L.B.

Selon van Inwagen, le problème de la multi-localisation est un faux problème. Lorsqu'on demande en vertu de quoi deux choses distinctes sont blanches, on peut proposer une réponse en termes de causes efficientes ou de causes formelles. Une troisième possibilité est de proposer une réponse en terme d'analyse ontologique, comme le fait Armstrong. Selon van Inwagen, ceci est absurde. Van Inwagen critique l'utilisation faite par Armstrong de la méthode de l'inférence à la meilleure explication (méthode qui vise à sélectionner une explication parmi plusieurs explications possibles à l'aide de critères tels que l'économie théorique ou le pouvoir explicatif) et avance une forme de réalisme platonicien modéré. B.L.B.