Why is There Philosophy of Mathematics At All ?

Dans quelles circonstances et à quel moment est né ce mode de raisonnement si particulier, procédant par transfert de nécessité, qu’on appelle le raisonnement mathématique ? Qu’est-ce qu’une preuve mathématique ? Comment s’établit-elle? Quelles sont les différentes méthodes qui permettent de l’exposer? Ces méthodes sont-elles transposables d’une discipline à une autre ? Dès lors, comment les disciplines mathématiques communiquent-elles entre elles ? Quel est le moteur de leur évolution et quelle est la nature de cette évolution ? Par quels procédés s’enrichissent-elles mutuellement ? Quelle est la différence entre mathématiques pures et mathématiques appliquées ? D’où provient cette distinction ? Est-elle fondée? Comment s’est-elle construite historiquement ? En bref, pourquoi y a-t-il, somme toute, une philosophie des mathématiques ? Quelles grandes tendances l’ont animée durant son histoire ? Quelles controverses l’animent actuellement ? Telles sont les questions au centre de cet ouvrage d’une grande érudition. Le chapitre 1 discute quelques grandes activités mathématiques : 1° l’élaboration de procédés d’administration de la preuve (méthodes intuitionniste ou formaliste) ; 2° l’application d’opérations et de constructions (analogies) d’une discipline vers une autre (de l’algèbre vers la géométrie, de la théorie des nombres vers la géométrie, etc.) ; 3° l’invention de technologies graphiques (comme les diagrammes), qui transforment le milieu dans lequel s’inscrivent les virtualités mathématiques. Ces transformations graphiques sont révolutionnaires, car elles modifient radicalement les possibilités de penser les objets mathématiques (comme l’espace par exemple), et par voie de conséquence, les modes de production et de compréhension des différentes disciplines mathématiques, ouvrant ainsi la question d’une économie et d’une herméneutique formelles. Selon l’auteur – s’inspirant de Putnam – deux expériences de la raison sont au fondement de la pérennité des mathématiques (chapitre 2): l’expérience mathématique (qui est une expérience de la preuve) et l’expérience physique (qui est une expérience de l’application des mathématiques à une autre réalité que la sienne, en l’occurrence une réalité actuelle). Autrement dit, l’expérience mathématique puise son endo-consistance virtuelle dans l’axiomatique qui la formalise et son exo-consistance actuelle dans les modèles physiques qui la réalisent : entre cette endo-consistance et cette exo-consistance, se situent les seuils de trans-consistance à double face (virtuelle et actuelle) que sont les technologies intellectuelles (en tant qu’elles supportent cette technique virtuelle qu’est la mathématique) et les technologies matérielles (incarnant en tant qu’instruments scientifiques les théories mathématiques appliquées et constituant ainsi de véritables « théories matérialisées » comme l’avait très bien vu Bachelard). Dès lors, un dépassement du matérialisme biologique radical (Changeux) et de l’idéalisme platonicien sans concession (Connes) semble possible au sein d’une véritable épistémologie historique des mathématiques qui articule scrupuleusement biologie du cerveau (i.e. organologie physiologique), étude des pratiques savantes contextualisées et historiquement situées (i.e. organologie sociale et politique des organisations savantes) et technologies intellectuelles et matérielles (i.e. organologie des artefacts) : épistémologie historique que Reviel Netz a appelé une « histoire cognitive » (cognitive history) (chapitre 3). Ainsi, Ian Hacking nous propose dans un quatrième chapitre une petite histoire de l’invention de la démonstration dans la pratique mathématique grecque de l’Antiquité par la détermination et la définition des notions cardinales de fait, théorème et preuve, ainsi que des liens qui les unissent au sein d’une construction universelle : un théorème (proposition vraie) doit être indexé à un fait (relation objective), justifié dans un enchaînement de traces (démonstration) et exemplifié dans une preuve singulière (par exemple telle preuve que l’on peut trouver dans les Éléments d’Euclide). Le chapitre 5 nous présente alors une histoire critique de la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées et propose une typologie des formes d’applications (Hacking en distingue sept). Enfin, les chapitres 6 et 7 exposent l’évolution des débats entre platonistes et antiplatonistes au cours de l’histoire des mathématiques, dont les deux grands représentants actuels sont les mathématiciens Timothy Gowers (1963-) et Alain Connes (1947-). Par la teneur de son érudition et l’étendue des connaissances qu’on y trouve, ce livre représente un excellent compendium d’histoire et de philosophie des mathématiques, écrit par l’un des grands maîtres de l’histoire et de la philosophie des sciences contemporaines. – Table des matières, vii-xii ; Avant-propos de l’auteur, xiii-xv ; Notes, pp. 258-262 ; Références bibliographiques, pp. 262-280 ; Index, pp. 281-290.

F. F.

In what circumstances and at what point in time was mathematical reasoning born, this very particular form of reasoning which procedes by movements of necessity ? What is a mathematical proof ? How is one established ? What are the different methods that allow it to be presented ? Are these methods transposable from one mathematical discipline to another ? If so, how do mathematical disciplines relate to each other? What is the engine and the nature of their evolution? What procedures allow these disciplines to enrich one another? What is the difference between pure and applied mathematics ? Where does this distinction come from ? Is it well-founded ? How has it been historically constructed ? And in short, why is there a philosophy of mathematics at all ? What are the large trends within its history ? And what are its current controversies ? These are the questions at the heart of this greatly erudite work. The first chapter discusses certain general activities of mathematics : 1. the elaboration of procedures of coming to proofs (intuitionist or formalist methods); 2. the application of operations and constructions (analogies) from one discipline to another (from algebra to geometry, from the theory of numbers to geometry, etc.); and 3. the invention of graphic technologies (such as diagrams), which transform the field of mathematical virtualities. These graphic transformations are revolutionary, as they radically modify the ways we conceive mathematical objects (such as space), and therefore, the means of production and comprehension of different mathematical disciplines – which thus opens up the question of a formal economy and a formal hermeneutics. According to the author, following Putnam, two experiences based in reason are the ground of the perennial nature of mathematics (chapter 2) : the mathematical experience (which is an experience of proof) and the physical experience (which is an experience of the application of mathematics to another reality that its own, in this case actual reality). In other words, the mathematical experience finds its internal virtual consistency in the axiomatics which formalizes it, and it finds its external actual consistency in the physical models which apply it. Between this internal virtual consistency and this external actual consistency can be found the thresholds of intermediary consistency, which are two-sided (virtual and actual) : these are the intellectual technologies (in as much as they support the virtual technics which is mathematics) and the material technologies (which, as scientific instruments, incarnate the applied mathematical theories and thus constitute veritable « materialized theories », as Bachelard demonstrated well). At this point, it seems possible to surpass both biological materialism (Changeux) and uncompromising platonic idealism (Connes), within a true historical epistemology of mathematics which scrupulously joins brain biology (that is, physiological organology), the study of historically contextualized scholarly practices (that is, the social and political organology of scholarly organizations), and intellectual and material technologies (that is, the organology of artefacts). This leads to historical epistemology which Reviel Netz called a « cognitive history » (chapter 3). Thus, Ian Hacking offers, in the fourth chapter, a short history of invention and demonstration in ancient Greek mathematical practice, through the determination and definition of the cardinal notions of fact, theoreme and proof, as well as the links that unite them within a universal construction : a theoreme (true proposition) should be indexed upon a fact (objective relation), justified within a chain of visual reasoning and graphic symbols (demonstration) and exemplified in a singular proof (for example, a proof found in Euclid's Elements). Chapter 5 then presents a critical history of the distinction between pure and applied mathematics and offers a typology of the forms of applications (Hacking points to seven of them). Finally, chapters 6 and 7 present the evolution of the debates between platonists and antiplatonists throughout the history of mathematics, an ongoing debate whose current representatives are mathemeticians Timothy Gowers (1963-) and Alain Connes (1947-). Through the strength of erudition and the wide extent of scholarly knowledge found here, this book represents an excellent synthesis of the history and the philosophy of mathematics, written by one of the great masters of the history and the philosophy of contemporary science. – Table of contents, vii-xii ; Author's preface, xiii-xv ; Notes, 258-262 ; Bibliographical references, 262-280 ; Index, 281-290.

F. F.