Cet ouvrage a d’abord fait l’objet d’un article de la Revue philosophique (mars-avril 1929), intitulé «Les postulats fondamentaux du rationalisme», puis d’un cours professé à la Faculté des Lettres durant le semestre d’hiver 1929-1930. – Axe central autour duquel s’organise toute l’histoire de la pensée philosophique, l’idée de Raison organisatrice reste le concept fondamental et spécifique d’une recherche philosophique qui se réclame de la méthode réflexive. Le problème qui contraint à poser une réflexion prolongée sur les méthodes de la science positive et la philosophie contemporaine, est celui du progrès de la Raison : la pensée rationnelle évolue. Mais évolue-t-elle au gré des caprices humains ? Est-elle quelque chose d’arbitraire, ou bien au contraire se dirige-t-elle vers une fin déterminée ? Si oui, comment définir cette fin, sans assigner à son progrès un caractère conceptualiste et artificiel ? L’A. tente de résoudre le problème en soumettant à une nouvelle analyse les notions de «structure formelle» et d’«expérience». – Chap. I, «Définitions de la Raison» (Étymologie; Définitions; Examen sémantique; Les intérêts du rationalisme); – II, «Raison et psychologie positive; de l’existence d’une réflexion normative» (La matière de la psychologie; La forme de la psychologie; Représentatif et normatif); – III, «Raison et sociologie; de l’existence d’une pensée normative universelle» (Le devenir sociologique et l’expérience; Le progrès de la Raison; Raison constituante et Raison constituée); – IV, «Raison et logique; les normes formelles ou le formalisme de la Raison» (La notion de vérité formelle et les normes logiques; Les variations de la logique et le progrès rationnel; Démonstration et découverte; La signification rationnelle du formalisme logique; Le critère pragmatiste de la vérité et les limites du formalime logique); – V, «La Raison fonction de réalité» (Le concept de réalité; Le rationalisme du réel; La doctrine des catégories; De la constitution de quelques catégories). M.-M. V.

La théorie de Cantor sur les ensembles, qui semblait susceptible de devenir la théorie la plus générale à laquelle se rattacheraient toutes les branches des mathématiques, est devenue l’objet de vives polémiques lorsqu’on a découvert qu’elle débouchait sur des antinomies. Cette critique perdure aujourd’hui, alors même que le système de Cantor voit s’affirmer toujours davantage sa vocation de discipline fondamentale pour toutes les mathématiques. L’ouvrage interroge ce paradoxe. – Chap. I, «Les données du problèmes» : Les points névralgiques de la théorie des ensembles; Les paradoxes; Mise en accusation des définitions imprédicatives; – Chap. II, «Le logicisme de Russell» : Qu’est-ce que le logicisme ?; La théorie des types ramfiée; Antinomies logiques et antinomies sémantiques : aménagement proposé par Ramsey; – Chap. III, «L’intuitionnisme de Brouwer» : Les mathématiques comme constructions mentales; “Procédés illicites”; Une mathématique nouvelle; – Chap. IV, «Solution des antinomies dans le cadre d’une théorie des ensembles axiomatisée» : Remarques générales sur ce qu’est une théorie axiomatisée ; Définition des ensembles dans la théorie axiomatisée des ensembles; – Chap. V, «Le formalisme de Hilbert» : Intérêt d’une preuve de consistance; La métamathématique; Impossibilité d’une preuve de consistance pour les théories suffisamment riches; – Chap. VI, «Discussion» : Apologie de la tolérance; L’existence des objets mathématiques; Peut-on admettre les définitions imprédicatives ? M.-M. V.

Réunit : – 1. "La démonstration de Gödel" / Ernest Nagel et James R. Newman, trad. de : "Gödel's proof". – 2. "Sur les propositions formellement indécidables des Principia mathematica et des systèmes apparentés I" / Kurt Gödel, trad. de : "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I". – 3. "Le champ du signe ou La faillite du réductionnisme" / Jean-Yves Girard. – En 1931, Kurt Gödel démontre, dans un article révolutionnaire, l’incomplétude de tout système axiomatique contenant la théorie des nombres. Ce théorème, qui bouleverse la question du fondement de la philosophie des mathématiques, se distingue par la nouveauté de ses procédés de démonstration et ses difficultés techniques. L’intérêt de ce volume est de proposer, outre la traduction de l’article original de Gödel, deux études propres à le mettre en perspective : – on trouve ainsi le livre que E. Nagel et J. R. Newman ont consacré à «la démonstration de Gögel», texte conçu pour mener le lecteur non spécialisé au cœur de l’argumentation de Gödel; – puis le texte de J.-Y. Girard rend compte des problèmes d’«interprétations» que pose le théorème de Gödel, problèmes qui sont l’affaire des mathématiciens engagés dans la recherche logique contemporaine. M.-M. V.

Réimpression au format de poche de la première traduction française (Paris : Le Seuil, 1971, dans la coll. «L’Ordre philosophique»). – Les dix textes de Frege, ici traduits de l’allemand par Claude Imbert, ont été publiés entre 1879 et 1925, dans diverses revues philosophiques ou dans les Actes de la Société savante d’Iéna. Longtemps dispersés, ces textes originaux sont aujourd’hui accessibles en deux recueils, publiés sous la direction de Ignacio Angelelli : Begriffsschrift und andere aufsätze (Hildesheim : Olms, 1964) et Kleine Schriften (Hildesheim : Olms, 1967). Ces textes se trouvent aux sources de trois courants essentiels de la pensée contemporaine : le formalisme logique, dont la figure décisive sera Bertrand Russell; la critique du langage commun, que poursuivra, après Wittgenstein, la philosophie analytique anglo-saxonne; et la réflexion proprement linguistique. – «Que la science justifie le recours à une idéographie», Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik (81), 1882; – «Sur le but de l’idéographie», Zeitschrift für Naturwissenschaft (16), 1882-1883; – «Fonction et concept», conférence prononcée devant la Société savante d’Iéna pour la médecine et les sciences naturelles, 9 janvier 1891; – «Sens et dénotation», Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik (100), 1892; – «Concept et objet», Vierteljahrschrift für wissenschaftliche Philosophie (16), 1892; – «Compte rendu de Philosophie der Arithmetik I de E.G. Husserl», Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik (103), 1894; – «Qu’est-ce qu’une fonction ?», publié en hommage à Ludwig Boltzmann pour son 60e anniversaire, Leipzig, 1904; – «Recherches logiques» : 1, La pensée, Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus (1), 1918-1919; 2, La négation, ibid., (1), 1918-1919, p. 143-157; 3, La composition des pensées, ibid., (3), 1923-1926. M.-M. V.

Cette 2e édition est augmentée d’une Préface adressée «Au lecteur, sur les structuralismes». L’A. entend y préciser que «Ce livre a d’abord été publié en un temps où les mots de structure et de structuralisme ne jouissaient pas encore de l’universel crédit dont ils bénéficient aujourd’hui auprès des chroniqueurs de revues et de gazettes. Je dis : les mots; non les réalités; et j’ose espérer que cet ouvrage n’a en rien contribué à la diffusion et à la confusion des sens qui accompagne en pareil cas la fortune des mots». – Le dessein de l’ouvrage est surtout critique : il s’agit de montrer qu’une structuration au sens strict est possible et féconde pour l’objet des sciences humaines. Le discours du livre n’a donc d’autre ambition que d’explorer les significations d’un certain objet scientifique, et d’en dégager le système. – Chap. I, Le problème des formes et la philosophie des sciences; – II, La langue comme véhicule d’information; – III, Langues scientifiques et formalismes; – IV, Le découpage des phénomènes; – V, Qualité et quantité; – VI, Structuration et axiomatisation; – VII, La connaissance de l’individuel. M.-M. V.

Texte remanié d’une thèse de doctorat de philosophie soutenue en Sorbonne Paris I le 20 mars 2004. – L’A., ancien chercheur au Laboratoire de physique atomique du Collège de France et au CEA, propose ici un essai d’actualisation de la cosmologie de Whitehead et tente de montrer que les principes de superposition et d’enchevêtrement issus de l’analyse épistémologique quantique peuvent être généralisés et considérés comme des principes métaphysiques. Une réflexion générale sur la relativité et la physique quantique conduit à s’interroger sur la représentation du monde physique à laquelle peut prétendre notre connaissance. La “non-séparabilité” (ou enchevêtrement) de deux particules corrélées, implicitement prédite par les équations de Heisenberg et de Schrödinger (1925 et 1926), a été mise en évidence par les expériences d’Alain Aspect (1982) et de Nicolas Gisin (1997). Cette notion apparaît comme la plus novatrice au regard de la cosmologie déduite de la physique classique newtonienne. L’épistémologie quantique s’en trouve confortée et rend obsolète la “vision du monde” issue de la physique newtonienne. Il faut donc une nouvelle métaphysique. Élaborée entre 1920 et 1930 et enseignée à Harvard de 1924 à 1947, la cosmologie d’Alfred North Whitehead (1861-1947) tient compte des découvertes scientifiques de son époque mais, si elle manifeste aujourd’hui encore sa pertinence, elle doit pourtant être complétée en introduisant dans son schème catégorial les derniers développements de la physique quantique, tels qu’ils se traduisent à travers le principe de superposition et le principe d’enchevêtrement. – Partie I, «Enchevêtrement quantique et réalité physique» : La nécessité d’un nouveau formalisme; Physique quantique : réalité et complétude; Expérience de pensée et problème de la mesure; Une théorie des corrélations; Des expériences pour trancher; Vers une nouvelle vision épistémologique du monde physique. – Partie II, «Vers une nouvelle métaphysique : apport de la cosmologie de A. N. Whitehead» : Pertinence actuelle de la cosmologie de Whitehead; Concepts quantiques et schème catégorial; Les préhensions whiteheadiennes et le Réceptacle platonicien; Critique whiteheadienne de la notion de substance et problèmes du langage; La cosmologie de Whitehead : une métaphysique pour la physique quantique; Pour une actualisation du corpus whiteheadien : métaphysique de la superposition et de l’enchevêtrement; Une métaphysique par régions de réalité ?. – Conclusion. M.-M. V.

Journées d’étude tenues à la Maison des Sciences de l’Homme le 23 janvier 2008, puis à l’École Normale Supérieure, rue d’Ulm à Paris, le 24 janvier 2008. – En étendant le concept d'«œuvre» du signe à la connaissance, Gilles-Gaston Granger a su redéfinir l'activité philosophique. En effet, selon lui, un «fait épistémologique» n'est pas seulement un «fait de science»; il concerne non seulement le devenir de la science mais également la vie humaine dans son ensemble. L'enjeu de son travail a donc été avant tout de définir la tâche et les objectifs de la «discipline philosophique», notamment dans son rapport à l'histoire des sciences et au concept de science, car, comme il le démontre, «le scientifiquement connaissable dépend exclusivement des déploiements de la pensée formelle». Granger a ainsi fait porter sa réflexion sur l'émergence du formel à partir de la théorie aristotélicienne de la science, tout en renouvelant sous le nom de «topique comparative» une méthode dont le spectre, couvrant l'histoire de la géométrie depuis Euclide, s'étend jusqu'à Russell et Carnap. S'appliquant également à la linguistique et aux sciences humaines, sa pensée contraste ainsi avec la démarche exclusivement historique de son prédécesseur au Collège de France, Martial Guéroult. – Pour présenter cette pensée aux multiples facettes et dont les répercussions se sont fait sentir dans des domaines d'activités très divers, différentes contributions de philosophes, scientifiques et musiciens sont ici réunies : Guilherme Carvalho, Philippe Lacour, Arley R. Moreno, Michel Paty, Joëlle Proust, Antoine Ruscio, Hourya Sinaceur, Norma Claudia Yunez Naude, Anne Sedès, Antonia Soulez, Horacio Vaggione. Presque tous les thèmes de la pensée formelle de Gilles-Gaston Granger sont abordés dans le présent volume : le rôle de la pensée formelle et ses liens avec le symbolisme dans les sciences, les sciences humaines et la philosophie ; le style et la pensée de la création dans la science comme en art ; la manière dont se présente, notamment dans la musique, l'opératoire dans la constitution de systèmes d'objets... Ce livre est ainsi une invitation à découvrir la pensée de ce grand épistémologue français, disciple de Bachelard et surtout de Cavaillès. M.-M. V.

Cet ouvrage réunit quinze études dont la dispersion dans des revues ou des annales de congrès rendait jusqu’alors l’accès difficile. Ces études sur la logique sont ici réparties sous trois rubriques. Dans chacune d’elles, l’ordre adopté est l’ordre chronologique. – La première rubrique, «Regards sur la logique» (Partie I), propose quatre textes concernant le développement de cette science, et tout particulièrement de la logique inductive : – 1, «Probabilité et logique de l’argumentation selon Jacques Bernoulli», Les Études philosophiques, Paris : PUF, 1967, n° 3; – 2, «Le problème de l’application de la logique inductive», conférence inédite, Aix-en-Provence, 1972; – 3, «Sur l’ouvrage de L. Aqvist et F. Guenthner : Tense Logic», Les Études philosophiques, Paris : PUF, 1981, n° 3; – 4, «Les doctrines de la vraisemblance sont-elles un substitut viable de la logique inductive ?», in Alberto Pasquinelli dir., L’Eredità di Rudolf Carnap. Epistemologia, Filosofia delle scienze, Filodofia del linguaggio. Bologna : Clueb, 1995. – La rubrique suivante, «Les formalismes logiques et la philosophie» (Partie II), constitue le cœur de l’ouvrage; elle regroupe sept études dont chacune illustre l’aide que la logique moderne peut apporter à la réflexion philosophique : – 5, «Temps, nécessité et prédétermination», Les Études philosophiques, Paris : PUF, 1973, n° 4; – 6, «L’identité des possibles», Revue de Métaphysique et de Morale, Paris : Armand Colin, 1975, n° 3; – 7, «Le nominalisme, aujourd’hui», Cahiers Fundamenta Scientiae, séminaire sur les fondements des sciences, Université Louis Pasteur, Strasbourg, n° 87, 1978; – 8, «L’argument dominateur et le temps cyclique», Les Études philosophiques, Paris : PUF, 1983, n° 3; – 9, «L’individuation, vrai ou faux problème ?», Mérites et limites des méthodes logiques en philosophie, colloque international organisé par la Fondation Singer-Polignac en juin 1984. Paris : Vrin, 1986; – 10, «La sémantique kripkéenne et les doctrines logiques de Leibniz», Cahiers du groupe de recherche sur la philosophie et le langage, n° 10, Université des sciences agricoles de Grenoble, 1989; – 11, «Les critères du progrès scientifique», conférence inédite, Université de Malaga, 1991. – La dernière rubrique, «Études variées» (Partie III), réunit quatre textes dont les trois premiers relèvent plus directement de l’histoire, et qui montrent une égale rigueur dans l’analyse : – 12, «Le rôle de l’histoire des sciences selon Duhem», Les Études philosophiques, Paris : PUF, 1967, n° 4; – 13, «L’espace selon Bergson», Revue de Métaphysique et de Morale, Paris : Armand Colin, 1980, n° 3; – 14, «De l’usurpation géométrique», Revue philosophique, n° 4, 1985; – 15, «Le rationalisme critique en sociologie», Revue européenne des sciences sociales, t. XXXVI, 1998, n° 112, p. 147-164. M.-M. V.

La philosophie des mathématiques est à faire, si elle est possible. L’une de ses tâches serait de répondre aux questions suivantes : – existe-t-il des fondements ?; – si oui, en quoi consistent-ils ?; – sont-ils intéressants ?; – que sont les mathématiques ?; – quelle est leur signification ?

Sur les controverses entre intuitionnisme et formalisme (1920-1930), qui diffèrent par la conception de l’infini. Dans la doctrine formaliste (Hilbert), les propositions sur le transfini sont considérées comme des propositions idéales sans contenu ontologique. L’intuitionnisme, qui ne donne pas lieu à une mathématique du second ordre, se tient strictement, dans les mathématiques, à l’infini potentiel.

Il s’agit ici de repérer, au-delà des divergences évidentes, certains caractères d’une tradition épistémologique française dans l’accueil des thèses viennoises, surtout de la part de leurs partisans, en particulier Louis Rougier, présenté comme «le principal philosophe français qui a été en contact avec les thèses néopositivistes» (Francesco Barone). – Les grandes thèses sur les systèmes formels; – Les grandes thèses sur les vérités empiriques : Le critère vérificationniste de la signification empirique; Critique du physicalisme et de la conception unitaire de la science; Aspect conventionnel d’une séparation trop nettement établie entre les énoncés analytiques et les énoncés synthétiques; Limitation de l’exigence de vérification directe; La métaphysique et les problèmes; – Conclusion.

Niels Bohr définit un instrument de mesure non pas en référence à sa structure matérielle, mais à l’usage qui en est fait. Il est alors présumé renvoyer à une collectivité d’êtres humains. L’analyse proposée ici est qu’il renvoie à leur langage, et au-delà aux contraintes de tout langage, ce qui est très différent. Il s’agit bien de manières de parler de la même chose, autrement.

Dans le traitement informatique de la preuve, trois courants principaux sont distingués, – à tendance formelle, – à tendance cognitive, – à tendance pragmatique. – 1. Introduction; – 2. Construire un démonstrateur adaptatif : un catalogue de problèmes; – 3. Le système de déduction (Le calcul des propositions; Un calcul de séquent); – 4. Généralisation à partir d’exemples; – 5. Généralisation de formules : les macro-connecteurs (Formules à généraliser. Cas particulier : les formules homogènes; Langage des généralisations : les macro-connecteurs; Méthode de généralisation; En résumé); – 6. Généralisation des lemmes (Les concepts à apprendre; Langage des généralisations : les schémas sous contraintes; Propriétés des schémas sous contrainte; Mécanismes de généralisation; En résumé); – 7. Conclusion.

Ce dernier article réfléchit sur la preuve dans les sciences humaines qui veulent user du formalisme de l’IA. Il pose le problème de la validité de l’IA en archéologie et plus particulièrement dans les sciences humaines. Il se place dans le champ de l’apprentissage car on y discerne l’émergence des règles d’inférence. – 1. L’épreuve de l’intelligence artificielle dans les sciences humaines; – 2. Exemples d’applications (PALAMEDE, PLATA, Conclusion); – 3. De l’épreuve à la preuve.

Après avoir montré que l’émergence des normes ou «comportements socialement interactifs» ne s’effectue pas selon le modèle de la théorie classique de la décision, les auteurs étudient comment les entreprises créent des normes de fixation de prix. En s’appuyant sur les formalismes des algorithmes génétiques, ils mettent en évidence la nécessité d’un apprentissage adaptatif pour que les entreprises adoptent des «règles de comportements cohérentes» qui traduisent qu’un collectif «tient». Cet apprentissage est construit sur une coévolution entre les structures cognitives et les modèles d’actions des agents. Mais le recours aux algorithmes génétiques présente de sérieuses limites : s’ils sont certes capables d’apprendre par mutation et sélection de leurs règles (définies comme une suite de symboles) à peu près n’importe quelle fonction, et peuvent donner une approximation des prix, ils ne mettent pas pour autant en évidence le mécanisme explicatif de ces évolutions. – [Texte traduit par Richard Clément et Bénédicte Reynaud].

Dans cet article, les deux concepts clés de la théorie quantique, à savoir la complémentarité et l’intrication, sont étudiés en physique et au-delà du domaine de la physique. Est décrite une version faible et axiomatisée de la théorie quantique, plus générale que la théorie quantique ordinaire des systèmes physiques. Sa structure mathématique généralise l’approche algébrique de la théorie quantique ordinaire. Ici, comme dans la théorie quantique ordinaire, la caractéristique formelle cruciale qui conduit à la complémentarité et à l’intrication est la non-commutativité des observables. – [Traduction de l’anglais et adaptation par Michel Bitbol].

Bien que la notion de pensée formelle soit centrale dans la pensée de G.-G. Granger, on ne trouve, dans son œuvre publiée, aucun texte qui soit explicitement consacré à son analyse. Cet article entend présenter trois des aspects parmi les plus importants de cette notion. Le premier aspect pourrait être résumé ainsi : il n’y a pas de «forme» de la pensée formelle, qui configurerait en droit chacune de ses réalisations. Le deuxième aspect concerne les rapports sui generis que la pensée formelle entretient avec le symbolisme (en particulier avec un symbolisme dit «formel»). Le troisième aspect porte sur les modalités de mise en œuvre «concrète» du travail de la pensée formelle : il s’agit ici des conditions de ce que Granger appelle la «dialectique de la pensée formelle».

Dans un article intitulé «La langue comme système régulé», G.-G. Granger propose une analyse détaillée du concept de régulation, et l’applique à la linguistique. Le présent chapitre montre que l’application du concept de régulation par Granger dans ce texte est difficilement réconciliable avec l’analyse qu’il en donne. Cette tension est l’indice d’une difficulté sous-jacente dans la manière dont Granger cherche à résoudre le problème de l’application des formes. Joëlle Proust propose une solution formelle à ce problème : la théorie mathématique de la viabilité permet de surmonter l’opposition entre abstrait et concret, dans laquelle le raisonnement de Granger reste dans ce texte enfermé.

Sur le style et la pensée de la création dans la science comme en art, Antonia Soulez se propose de montrer ici que les écrits épistémologiques de Granger révèlent une pensée «hantée» par l’art, à partir de l’idée d’une généalogie du symbolisme.

A la fois science et technique, relevant des sciences dures et des sciences douces, mobilisant les épistémologies tant spéculatives qu'expérimentales, l'intelligence artificielle, par son intitulé même, est question vive. L'intelligence des mécanismes et des artefacts que l'homme parvient à concevoir et à mettre en œuvre pour co-évoluer avec l'univers qui le construit et qu'il construit, ne peut-elle lui proposer à lui-même une nouvelle compréhension des mécanismes de sa propre intelligence ? Une telle question ne s'entend que dans son contexte culturel et technique. L'intelligence artificielle ne saurait être réduite à une technologie, ou à une discipline scientifique, ou à une épistémologie. À la fois technique, science et épistémologie, l'intelligence artificielle est aussi moment dans l'histoire de la science, et n'est intelligible que dans cette perspective historique. – Un axe directeur, celui qui mène de l'intelligence artificielle aux sciences de la cognition, par enrichissements successifs, peut être identifié et reconnu. C'est lui qui va servir de colonne vertébrale au présent recueil : ce fil directeur est nécessaire pour l'exposition séquentielle des articles et assure une relative transdisciplinarité par une sélection des concepts les plus aisément transférables.

Montrer d'une part l'importance des travaux, d'autre part l'influence des positions de Federigo Enriques et Hermann Weyl dans les oeuvres épistémologiques de Gaston Bachelard et Ferdinand Gonseth, tel est l'objet de cet article. En effet, pour Bachelard et Gonseth, les oeuvres de ces deux mathématiciens – contemporaines de changements majeurs dans l'histoire des mathématiques et de la physique, ceux du début du XXe siècle – ont articulé problèmes scientifiques et questions philosophiques dans un contexte de crise. Ils ont ainsi impulsé un programme de recherche qui met au premier plan l'importance de l'approche historique dans la compréhension intime de la science mathématique, fondamentalement abstraite et créatrice, et dont l'activité est porteuse d'une philosophie implicite qui en est le moteur, le vecteur et le principe de croissance. Cette philosophie implicite, tel est l'objet de l'épistémologie mathématique, définie d'une part comme réflexion historique et critique sur les fondements des mathématiques, d'autre part comme analyse de la formation de ses concepts. – Liste des références bibliographiques, p. 86-87. F. F.

Le but de ce livre est d'étudier d'une part la philosophie des mathématiques et l'influence des idées philosophiques sur le développement des mathématiques elles-mêmes ; d'autre part la notion de construction mathématique. L'ouvrage est divisé en quatre sections, et comporte des ajouts par rapport à la première édition allemande de 1934. La première partie est une introduction à l'intuitionnisme, la seconde, un exposé sur les travaux de l'école de Hilbert (Ackermann, Bernays, Herbrand, Von Neumann) et les premiers travaux en métamathématiques. La troisième partie étudie les conceptions du fondement des mathématiques de Gerrit Mannoury (relativiste et pragmatique) et Moritz Pasch (empiriste) ; la quatrième, la question du rapport entre les mathématiques et les sciences de la nature. – Bibliographie, pp. 77-87 ; Table des matières, pp. 89-91.

F. F.

Cet ouvrage collectif regroupe les textes de philosophes et de mathématiciens, issus des exposés de deux colloques (intitulés « Concepts purs / concepts appliqués » et « Structures en mouvement ») organisés par le réseau Phenomath, animé par Jocelyn Benoist (philosophe – Pays Germaniques, UMR 8547) et Thierry Paul (mathématicien – Centre de mathématiques Laurent Schwartz, UMR 7640). Alliant attitude phénoménologique et approche formaliste, les contributions épistémologiques que l’on trouve dans ce livre sont toutes animées par un motif commun : saisir le sens de la pensée mathématique d’un point de vue immanent (i.e. dans sa pratique effective) en donnant un primat aux opérations sur les objets dans la définition des objets mathématiques, c’est-à-dire en accordant un primat à la pratique opératoire plutôt qu’à la contemplation structurale dans l’activité mathématique. Ce motif est inséparable d’une thèse, dont l’énoncé peut se formuler ainsi : le formalisme mathématique n’est pas une pratique aveugle mais éclairée, dotée d’un contenu intellectuel et d’une dimension philosophique à la fois porteuse et productrice de sens. – Table des matières, pp. 197-199.

F. F.

Cet article traite du poids du formalisme dans la création mathématique et montre qu’historiquement, l’introduction d’une plus grande abstraction a permis d’inventer des outils bénéfiques pour la résolution de problèmes concrets, dans le cadre des sciences appliquées. – I. Introduction ; II. Les premiers travaux sur les équations des ondes et de la mécanique des fluides ; III. Transcendance et analyse fonctionnelle ; IV. Contributions externes au formalisme ; V. Au-delà du formalisme ; VI. Conclusion ; Références, p. 169.

F. F.

Dans quelles circonstances et à quel moment est né ce mode de raisonnement si particulier, procédant par transfert de nécessité, qu’on appelle le raisonnement mathématique ? Qu’est-ce qu’une preuve mathématique ? Comment s’établit-elle? Quelles sont les différentes méthodes qui permettent de l’exposer? Ces méthodes sont-elles transposables d’une discipline à une autre ? Dès lors, comment les disciplines mathématiques communiquent-elles entre elles ? Quel est le moteur de leur évolution et quelle est la nature de cette évolution ? Par quels procédés s’enrichissent-elles mutuellement ? Quelle est la différence entre mathématiques pures et mathématiques appliquées ? D’où provient cette distinction ? Est-elle fondée? Comment s’est-elle construite historiquement ? En bref, pourquoi y a-t-il, somme toute, une philosophie des mathématiques ? Quelles grandes tendances l’ont animée durant son histoire ? Quelles controverses l’animent actuellement ? Telles sont les questions au centre de cet ouvrage d’une grande érudition. Le chapitre 1 discute quelques grandes activités mathématiques : 1° l’élaboration de procédés d’administration de la preuve (méthodes intuitionniste ou formaliste) ; 2° l’application d’opérations et de constructions (analogies) d’une discipline vers une autre (de l’algèbre vers la géométrie, de la théorie des nombres vers la géométrie, etc.) ; 3° l’invention de technologies graphiques (comme les diagrammes), qui transforment le milieu dans lequel s’inscrivent les virtualités mathématiques. Ces transformations graphiques sont révolutionnaires, car elles modifient radicalement les possibilités de penser les objets mathématiques (comme l’espace par exemple), et par voie de conséquence, les modes de production et de compréhension des différentes disciplines mathématiques, ouvrant ainsi la question d’une économie et d’une herméneutique formelles. Selon l’auteur – s’inspirant de Putnam – deux expériences de la raison sont au fondement de la pérennité des mathématiques (chapitre 2): l’expérience mathématique (qui est une expérience de la preuve) et l’expérience physique (qui est une expérience de l’application des mathématiques à une autre réalité que la sienne, en l’occurrence une réalité actuelle). Autrement dit, l’expérience mathématique puise son endo-consistance virtuelle dans l’axiomatique qui la formalise et son exo-consistance actuelle dans les modèles physiques qui la réalisent : entre cette endo-consistance et cette exo-consistance, se situent les seuils de trans-consistance à double face (virtuelle et actuelle) que sont les technologies intellectuelles (en tant qu’elles supportent cette technique virtuelle qu’est la mathématique) et les technologies matérielles (incarnant en tant qu’instruments scientifiques les théories mathématiques appliquées et constituant ainsi de véritables « théories matérialisées » comme l’avait très bien vu Bachelard). Dès lors, un dépassement du matérialisme biologique radical (Changeux) et de l’idéalisme platonicien sans concession (Connes) semble possible au sein d’une véritable épistémologie historique des mathématiques qui articule scrupuleusement biologie du cerveau (i.e. organologie physiologique), étude des pratiques savantes contextualisées et historiquement situées (i.e. organologie sociale et politique des organisations savantes) et technologies intellectuelles et matérielles (i.e. organologie des artefacts) : épistémologie historique que Reviel Netz a appelé une « histoire cognitive » (cognitive history) (chapitre 3). Ainsi, Ian Hacking nous propose dans un quatrième chapitre une petite histoire de l’invention de la démonstration dans la pratique mathématique grecque de l’Antiquité par la détermination et la définition des notions cardinales de fait, théorème et preuve, ainsi que des liens qui les unissent au sein d’une construction universelle : un théorème (proposition vraie) doit être indexé à un fait (relation objective), justifié dans un enchaînement de traces (démonstration) et exemplifié dans une preuve singulière (par exemple telle preuve que l’on peut trouver dans les Éléments d’Euclide). Le chapitre 5 nous présente alors une histoire critique de la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées et propose une typologie des formes d’applications (Hacking en distingue sept). Enfin, les chapitres 6 et 7 exposent l’évolution des débats entre platonistes et antiplatonistes au cours de l’histoire des mathématiques, dont les deux grands représentants actuels sont les mathématiciens Timothy Gowers (1963-) et Alain Connes (1947-). Par la teneur de son érudition et l’étendue des connaissances qu’on y trouve, ce livre représente un excellent compendium d’histoire et de philosophie des mathématiques, écrit par l’un des grands maîtres de l’histoire et de la philosophie des sciences contemporaines. – Table des matières, vii-xii ; Avant-propos de l’auteur, xiii-xv ; Notes, pp. 258-262 ; Références bibliographiques, pp. 262-280 ; Index, pp. 281-290.

F. F.

In what circumstances and at what point in time was mathematical reasoning born, this very particular form of reasoning which procedes by movements of necessity ? What is a mathematical proof ? How is one established ? What are the different methods that allow it to be presented ? Are these methods transposable from one mathematical discipline to another ? If so, how do mathematical disciplines relate to each other? What is the engine and the nature of their evolution? What procedures allow these disciplines to enrich one another? What is the difference between pure and applied mathematics ? Where does this distinction come from ? Is it well-founded ? How has it been historically constructed ? And in short, why is there a philosophy of mathematics at all ? What are the large trends within its history ? And what are its current controversies ? These are the questions at the heart of this greatly erudite work. The first chapter discusses certain general activities of mathematics : 1. the elaboration of procedures of coming to proofs (intuitionist or formalist methods); 2. the application of operations and constructions (analogies) from one discipline to another (from algebra to geometry, from the theory of numbers to geometry, etc.); and 3. the invention of graphic technologies (such as diagrams), which transform the field of mathematical virtualities. These graphic transformations are revolutionary, as they radically modify the ways we conceive mathematical objects (such as space), and therefore, the means of production and comprehension of different mathematical disciplines – which thus opens up the question of a formal economy and a formal hermeneutics. According to the author, following Putnam, two experiences based in reason are the ground of the perennial nature of mathematics (chapter 2) : the mathematical experience (which is an experience of proof) and the physical experience (which is an experience of the application of mathematics to another reality that its own, in this case actual reality). In other words, the mathematical experience finds its internal virtual consistency in the axiomatics which formalizes it, and it finds its external actual consistency in the physical models which apply it. Between this internal virtual consistency and this external actual consistency can be found the thresholds of intermediary consistency, which are two-sided (virtual and actual) : these are the intellectual technologies (in as much as they support the virtual technics which is mathematics) and the material technologies (which, as scientific instruments, incarnate the applied mathematical theories and thus constitute veritable « materialized theories », as Bachelard demonstrated well). At this point, it seems possible to surpass both biological materialism (Changeux) and uncompromising platonic idealism (Connes), within a true historical epistemology of mathematics which scrupulously joins brain biology (that is, physiological organology), the study of historically contextualized scholarly practices (that is, the social and political organology of scholarly organizations), and intellectual and material technologies (that is, the organology of artefacts). This leads to historical epistemology which Reviel Netz called a « cognitive history » (chapter 3). Thus, Ian Hacking offers, in the fourth chapter, a short history of invention and demonstration in ancient Greek mathematical practice, through the determination and definition of the cardinal notions of fact, theoreme and proof, as well as the links that unite them within a universal construction : a theoreme (true proposition) should be indexed upon a fact (objective relation), justified within a chain of visual reasoning and graphic symbols (demonstration) and exemplified in a singular proof (for example, a proof found in Euclid's Elements). Chapter 5 then presents a critical history of the distinction between pure and applied mathematics and offers a typology of the forms of applications (Hacking points to seven of them). Finally, chapters 6 and 7 present the evolution of the debates between platonists and antiplatonists throughout the history of mathematics, an ongoing debate whose current representatives are mathemeticians Timothy Gowers (1963-) and Alain Connes (1947-). Through the strength of erudition and the wide extent of scholarly knowledge found here, this book represents an excellent synthesis of the history and the philosophy of mathematics, written by one of the great masters of the history and the philosophy of contemporary science. – Table of contents, vii-xii ; Author's preface, xiii-xv ; Notes, 258-262 ; Bibliographical references, 262-280 ; Index, 281-290.

F. F.