Cet ouvrage de «raison appliquée» s’élabore systématiquement en partant de et en aboutissant à une interprétation de la perception sensible. Il y a donc nécessairement un problème d’épistémologie philosophique dans l’incontournable question de savoir dans quel rapport précis se trouvent la physique mathématique et la perception sensible. L’objet est ici de combler le fossé qui sépare la physique théorique des présupposés d’ordre causal de la perception commune. Par son registre et son mode d’élaboration, la physique s’éloigne à certains égards des conditions dans lesquelles s’enferme la perception telle que la postule le sens commun. De ce fait, il faut se demander s’il est possible de rétablir une communication appropriée entre cette visée supérieure d’intelligibilité et notre expérience vécue. – Première partie, «Analyse logique de la physique»; – Deuxième Partie, «La physique et la perception»; – Troisième Partie, «La structure du monde physique». M.-M. V.

Issu de cours professés au Collège de France en 1914-1915 et en 1918-1919, cet ouvrage étudie les principes, les moments et les critères propres aux démarches essentielles de la pensée mathématique pure. – Après une Introduction qui montre pourquoi il importe de prendre l’Analyse pour objet de réflexion (chap. I-IV : Introduction générale; Limitation du sujet; L’analyse pure; Position du problème), l’examen de ce qui assure la rigueur de la pensée mathématique de poursuit à travers une série d’études sur les définitions, envisagées en elles-mêmes et dans l’idée de nombre (chap. V-XVIII : La préface logique; Les définitions; L’idée de fonction logique; Lois et paradoxes de la définition; Les indéfinissables; Les postulats de l’analyse; Justification des postulats initiaux; L’idée de nombre : de l’intuition fondamentale; L’idée de nombre : empirisme et rationalisme; L’idée de nombre : essai d’une définition logique; L’idée de nombre : conclusions sur les tentatives de définition logique; L’idée de nombre : définition mathématique; La généralisation du nombre; Les concepts fondamentaux et les grands problèmes de l’analyse). Suivent des études sur les théorèmes (chap. XIX-XX : Les théorèmes d’existence; Les théorèmes de calcul et les théorèmes de connexion) et sur Le Raisonnement analytique (chap. XXI). Enfin, l’examen de ce qui permet le progrès de cette même pensée vient préciser, à partir de la notion de construction en analyse, les principaux problèmes que pose à l’esprit l’extension de la science mathématique (chap. XXII-XXIX : De la généralisation progressive; L’origine des constructions mathématiques et les sources immanentes de l’analyse; L’expérience mathématique; Des faits mathématiques; De la vérité mathématique; De la vérité en analyse; De l’intuition en analyse; Le problème de l’infini). – Sous forme d’Appendice, on trouve une réimpression de cinq leçons sur «Les principes fondamentaux de l’Analyse mathématique», publiées dans la Revue des Cours et Conférences, en juin-juillet 1924 : traitant des nombres irrationnels, des ensembles de nombres, des suites numériques et de la notion de limite, «elles viennent éclairer plusieurs remarques trop brèves du cours principal sur l’idée de nombre et sa généralisation». M.-M. V.

Tout raisonnement soutient un rapport indissoluble avec l’inférence. Raisonner, c’est donc faire une inférence ou combiner des inférences. Raisonner juste, c’est faire des inférences correctes. La valeur d’un raisonnement peut ainsi être appréciée selon deux critères différents, qui sont cependant loin de toujours s’accorder. Le premier de ces critères peut être appelé “interne” : la qualité d’un raisonnement se mesure à sa rigueur formelle et, de ce point de vue, le jugement que l’on porte sur lui a quelque chose d’objectif et d’absolu. Dire que ce raisonnement est bon, c’est lui attribuer une qualité qui lui est propre, indépendamment de toute relation à autre chose que lui. Mais un raisonnement peut aussi être apprécié selon un critère “externe”, à savoir dans sa relation à celui à qui on le destine. La valeur d’un raisonnement se mesure alors à son efficacité persuasive, et elle est quelque chose d’aussi variable que le sont les personnes qu’il vise. La difficulté d’accorder les deux vertus essentielles du raisonnement – rigueur et efficacité – oblige au compromis, selon l’opportunité, entre “géométrie” et “finesse”. – Introduction : Les deux faces du raisonnement. – Chap. I, Raisonnement et inférence; – II, Raisonnement, intuition et calcul; – III, Les fonctions du raisonnement; – IV, Le paradoxe du raisonnement : rigueur et fécondité; – V, Raisonnement et raison; – VI, Classification des raisonnements; – VII, Analyse et synthèse; – VIII, Les dénivellations modales; – IX, La déduction; – X, L’induction; – XI, L’analogie; – XII, Rétrospection et prospection; – XIII, L’usage pratique du raisonnement; – XIV, Argumentation et délibération; – XV, Les raisonnements fallacieux. – Conclusion : Logique et rhétorique. M.-M. V.

Cette étude, à la fois épistémologique et historique, se donne plusieurs objectifs : – dégager une définition unique de ce qu’on appelle raisonnement par l’absurde, dont l’unicité permette de saisir le problème dans son ensemble, – donner une analyse précise de la manière dont procède le type de démarche ainsi défini et la confronter à des exemples, – étudier sa réductibilité ou irréductibilité à d’autres formes de raisonnement qui pourraient en constituer des équivalents, – répondre ainsi à la question de savoir s’il y a des cas où l’on ne peut se dispenser d’y recourir, – s’interroger sur les raisons qui semblent en faire l’instrument privilégié de certaines démonstrations. – Chap. 1, «Qu’appelle-t-on raisonnement par l’absurde ?» (Définition; Le principe de sa réversibilité; Modes de son retournement en une version ostensive; Rencontre d’un cas particulier; La diagonale de Cantor; Exemple élémentaire de la proposition 6 du livre I d’Euclide; Affirmation par Aristote de cette réversibilité; Son échec à l’appliquer à la réduction des syllogismes en baroco et bocardo au syllogisme en barbara); – Chap. 2, «La démonstration de l’incommensurabilité du côté et de la diagonale du carré» (La démonstration ajoutée à la fin du livre X d’Euclide; Schématisation unilinéaire de cette démonstration; Son retournement en une version ostensive; Seconde schématisation, plus fidèle à l’original et faussement unilinéaire; Manifeste plurilinéarité de la version ostensive obtenue par retournement de celle-ci; Comparaison des quatre versions précédentes et raisons de la préférence pour les deux versions apagogiques, en particulier pour la seconde); – Chap. 3, «Les démonstrations eudoxiennes du livre XII des Éléments d’Euclide» (La double démonstration par l’absurde de la proposition 2 du livre XII; Analyse de cette démonstration; Possibilité de retourner cette double démonstration apagogique en une unique démonstration ostensive; Établissement d’une telle démonstration ostensive; La quantification à l’origine de l’avantage présenté par la version apagogique sur la version ostensive); – Chap. 4, «Le raisonnement par l’absurde chez Archimède» (Appel implicite des démonstrations eudoxiennes au postulat de l’existence d’une quatrième proportionnelle; Reprise par Archimède de la méthode d’exhaustion à la proposition 24 de La quadrature de la parabole; Particularités de la démonstration et possibilité de son retournement; Que le recours d’Archimède à la méthode de compression ne modifie en rien l’essentiel des conclusions tirées de l’analyse des procédures d’exhaustion; Rencontre chez Archimède du cas particulier évoqué au chapitre premier; Situation où Archimède a préféré une démonstration ostensive disjonctive à une preuve apagogique; Usage du raisonnement par l’absurde dans ses traités touchant à la statique); – Chap. 5, «La concurrence de l’analyse» (Solidarité du raisonnement par l’absurde avec la démarche synthétique, qui pallie par ce moyen son défaut de “marche arrière”; Spécificité du raisonnement analytique; Raisons pragmatiques pour lesquelles celui-ci exclut le recours à une démarche apagogique; Absence d’analyse aux douze premiers livres des Éléments; Signification historique du livre XIII; Exemple de la proposition 13 de ce livre; Que ce qui vaut pour les problèmes vaut aussi pour les théorèmes de ce livre; Différences avec la démarche de Pappus; Les deux seuls recours du livre XIII au raisonnement par l’absurde; Qu’Archimède ne recourt à l’analyse que pour les problèmes du livre II de De la sphère et du cylindre; Situation des six problèmes en question; Ce qui pourrait y masquer le caractère analytique de la démarche; Généralisation de l’analyse par la méthode cartésienne; Que cette généralisation atteint le contenu même des mathématiques; Moments privilégiés et périodes de défaveur du raisonnement par l’absurde); – Chap. 6, «Les procédures proprement logiques» (Analyse des procédures apagogiques permettant d’établir soit la validité, soit l’inconsistance d’une expression du calcul des prédicats; Manière dont elles peuvent se retourner en procédures ostensives prenant la forme de démonstrations syntaxiques; Caractère préférentiellement syntaxique de la version ostensive; Adoption par les créateurs de la logique moderne d’une telle voie ostensive; Raisons pragmatiques qui amènent de plus en plus à privilégier des démarches foncièrement apagogiques; Situation analogue pour les logiques modales; Difficultés propres au retournement des procédures de validation des propositions modales; Esquisse d’un mode de transcription de ces propositions permettant de manifester la possibilité d’un tel retournement; Conséquences pour la complétude de ces systèmes); – Chap. 7, «Hésitations, variations et illusions de la philosophie» (Accord, chez Platon, de la démarche apagogique avec sa gnoséologie de la réminiscence et sa pédagogie de la maïeutique; La préférence d’Aristote pour le raisonnement ostensif; Le que et le pourquoi; Traduction, par Arnauld, de cette préférence en termes cartésiens; La prohibition, par Kant, du recours au raisonnement apagogique pour les preuves transcendantales; Le privilège accordé par Pascal au raisonnement par l’absurde; Comment Descartes étend sa méthode à la physique et à la métaphysique; Raisonnement apagogique à la fin de ses réponses aux deuxièmes objections, comme plus tard dans l’Éthique de Spinoza; Présence d’éléments apagogiques dans le contexte prétendu analytique des Méditations). – Conclusion : Que les problèmes liés au raisonnement par l’absurde traversent, sans l’atteindre, la querelle soulevée par l’intuitionnisme; Qu’il convient de distinguer rigoureusement l’usage que les sciences expérimentales font du raisonnement par l’absurde de celui qu’en font les mathématiques; Le retournement de l’apagogique en ostensif; Comment il s’opère; Raisons pragmatiques qui font préférer l’une des deux versions à l’autre; Domaines dans lesquels le raisonnement par l’absurde a ou n’a pas sa place. M.-M. V.

Les deux essais réunis dans ce volume sont tirés de deux livres en anglais : – Ulysses and the sirens : studies in rationality and irrationality (Cambridge, Cambridge University Press, 1979), et – Sour grapes : studies in the subversion of rationality (Ibid., 1983). – La notion de rationalité est au centre de ces analyses, qui font appel à un large éventail de disciplines, telles la philosophie, la science politique, la sociologie, la théorie de la décision, l’économie, la psychologie, l’histoire et la littérature. Le but est de montrer certaines limitations de la théorie du comportement rationnel telle qu’elle est utilisée par les économistes néo-classiques et par les philosophes analytiques anglo-saxons. Ces limitations, qui selon Elster ne doivent pas conduire à abandonner cette théorie mais à l’améliorer, apparaissent lorsqu’on essaie de rendre compte de certains aspects de l’irrationalité humaine. Ainsi, dans «Ulysse et les sirènes», l’A. prend pour objet la «faiblesse de la volonté» : l’incapacité à s’en tenir aux décisions prises et à sacrifier le plaisir immédiat au plaisir futur. Dans «Le laboureur et ses enfants», il étudie cette autre forme d’irrationalité qui consiste à chercher à réaliser par la volonté ce qui ne peut être obtenu que de façon involontaire. – I. «Le laboureur et ses enfants : essai sur les effets essentiellement secondaires»; – II. «La rationalité imparfaite : Ulysse et les sirènes». M.-M. V.

Cet ouvrage est consacré à la question des origines d’une théorie mathématique, considérée comme étant «une structure formée par un ensemble d’objets (le domaine de la théorie) et une famille de procédures d’inférence définies sur eux qui permettent d’établir leurs propriétés et leurs relations». L’ambition est ici de comprendre comment les objets de ces théories ont pu être constitués à partir d’autres objets déjà constitués. De fait, l’A. considère «deux théories» et propose de regarder «la mise en place de l’une de celles-ci comme étant une étape préliminaire mais essentielle du parcours qui mène à l’autre» : – la première de ces théories est la théorie des fluxions, établie par Isaac Newton, à Cambridge et Woolsthorpe, entre les années 1664 et 1671 ; – la seconde, qui sera ici dénommée “analyse”, est une théorie plus difficile à cerner du fait de l’ampleur de ses visées : elle doit être conçue comme étant le cadre englobant l’ensemble des mathématiques connues ou, plus exactement, comme un système de théories mathématiques, et non comme une théorie parmi d’autres. Dans ce contexte, on comprend pourquoi l’intérêt porté aux origines de l’analyse n’a de sens que «dans la mesure où elles coïncident avec celles de la théorie des fluxions». – Il convient de noter que, pour des raisons de clarté, le terme analyse est écrit en italique lorsqu’il désigne la théorie mathématique dont il s’agit de reconstruire les origines. Ceci afin de le distinguer d’une autre signification assignée à ce même terme, mais écrit cette fois en romain : l’A. appelle «analyse» une modalité de la pensée, une forme propre à certaines procédures d’inférence ou à certains arguments. L’ouvrage montre cependant que l’analyse et l’analyse ne sont pas étrangères l’une à l’autre : les origines de l’analyse tiennent en effet à la codification d’une certaine forme d’arguments analytiques. Comprendre ces origines revient donc à comprendre comment s’est opérée la transformation d’une modalité de la pensée en une théorie mathématique : ce qui est précisément l’objet de cette étude. – I. «Les premières lectures» : 1, La méthode de la quadrature de Wallis ; 2, La méthode des tangentes de Descartes ; 3, Newton et Wallis : quadratures et développements en séries entières (début 1664 - été 1665) ; 4, Newton et Descartes : tangentes, normales, quadratures et centres de courbure (été 1664 – mai 1665). – II. «Tentatives d’unification» : 5, À la recherche des liens entre les algorithmes des normales et des quadratures (été – automne 1665) ; 6, De l’algorithme des normales à l’algorithme des mouvements (au début de l’automne 1665). – III. «Vers la théorie des fluxions» : 7, Composition de mouvements : la reformulation et l’extension de la méthode des tangentes de Roberval (30 octobre et 8 et 13 novembre 1665) ; 8, La première esquisse d’un traité sur la solution des problèmes géométriques par le biais de la composition des mouvements (14 et 16 mai 1666). – Conclusions : «L’introduction des fluxions et la naissance de l’analyse». M.-M. V.

Si l’on admet le principe qu’il ne faut pas confondre la science déjà faite avec la science qui se fait, on reconnaît dans le même temps que l’on ne peut déterminer les caractères essentiels de la connaissance scientifique si l’on ignore comment cette connaissance est acquise. Ce principe est particulièrement vrai pour les Mathématiques pures : n’étant ni guidées par l’expérience ni suscitées par les événements de la vie, elles dépendent plus que toute autre discipline de l’invention et des conceptions de leurs auteurs. «Quelle idée les mathématiciens se font-ils de leur science, quel dessein poursuivent-ils, quels sont les principes directeurs de leur activité, quel est le phare qui oriente leurs recherches ?». Pour aborder l’étude des problèmes soulevés par ces questions difficiles, l’A. ne voit qu’une seule méthode applicable, et «cette méthode est la méthode historique [...]. Ainsi c’est dans l’histoire des sciences, convenablement étudiée, que nous avons le plus de chance de découvrir les fondements et la direction de la pensée scientifique». – Introduction, «L’histoire des sciences et les grands courants de la pensée mathématique». – Chap. Premier, «La conception hellénique des mathématiques» (I. La science contemplative; II. Les différents aspects de la mathématique grecque; III. L’étude mathématique des grandeurs). – Chap. II, «La conception synthétiste des mathématiques» (I. Origines, objet et méthode de l’Algèbre; II. L’Algèbre cartésienne; III. La synthèse infinitésimale). – Chap. III, «L’apogée et le déclin de la conception synthétiste» (I. La synthèse algébrico-logique; II. Les limites de la Logique; III. Les limites de l’Algèbre). – Chap. IV, «Le point de vue de l’Analyse moderne» (I. L’évolution de l’Analyse mathématique au XIXe siècle; II. L’objectivité des faits mathématiques; III. La doctrine intuitioniste). – Chap. V, «La mission actuelle du mathématicien» (I. Les Mathématiques et la Physique; II. La direction des recherches; III. L’enseignement des Mathématiques). M.-M. V.

I argue that any broadly dispositional analysis of probability will either fail to give an adequate explication of probability, or else will fail to provide an explication that can be gainfully employed elsewhere (for instance, in empirical science or in the regulation of credence). The diversity and number of arguments suggests that there is little prospect of any successful analysis along these lines.

This essay is intended as little more than a series of remarks; despairing of producing anything like an adequate account of Moore’s views on the nature of analysis within the scope of a single article, the author has elected to discuss only a limited number of topics suggested by Moore’s most lately published writings on analysis. M.-M. V.

Cet article est un essai de sémantique des prototypes. Pour établir cette sémantique dans le cas des mots «pendre» et «suspendre», l’auteur met en lumière les «règles» ou «lois» de la suspension à partir des réactions suscitées par les œuvres d’un artiste, Baudouin Luquet. La théorie de Vandeloise constitue une approche analytique de l’œuvre de l’artiste et une illustration des rapports entre langage et œuvre d’art.

I. Actions logiques et non logiques chez Pareto (Le projet parétien; La première classe : calculer les moyens); – II. Les «types idéaux» de l’action sociale chez Max Weber (Deux épistémologies des sciences sociales; Les types purs de l’action socialement orientée); – III. Pareto et Weber aujourd’hui.

Paul Dubreil est l’un des meilleurs représentants de l’école française d’Algèbre moderne. Il présente ici un large évantail de choix où apparaissent les plus grands acteurs parmi les nombres transcendants : les nombres e et pi. M.-M. V.

En forme de bilan, cet article met en relief les rapports de la géométrie et de l’analyse. – De l’algèbre aux groupes; – Des groupes à la géométrie; – Fonctions d’une variable réelle; – Fonctions d’une variable complexe; – Équations différentielles; – Équations différentielles et aux dérivées partielles; – Analyse fonctionnelle. M.-M. V.

Hommage à Henri Lebesgue (1875-1941), fondateur de la théorie moderne de l’intégrale, à laquelle il annexa l’immense domaine des fonctions discontinues. M.-M. V.

Concevoir : dispose-t-on d'un modèle de la continuité des opérations intellectuelles d'un esprit humain en train de de concevoir ? interrogeait Paul Valéry. On propose ici une discussion de la conception entendue comme un acte cognitif (découvrir ou inventer ? appliquer ou projeter ? ...) visant à mettre en valeur les premiers modèles de ce processus de conception que suggère l'IA. On illustre cette discussion par deux applications pratiques aujourd'hui familières : la conception assistée par ordinateur (CAO) et les systèmes interactifs d'aide à la décision (SIAD) : leur développement illustre un certain nombre de concepts des théories de la conception, et de leur rapport à l'intelligence artificielle considérée comme traitement des symboles. On poursuit par la mention de quelques repères, en exploitant l'antinomie entre analyse et conception, afin de mettre en valeur les processus de conception en architecture et urbanisme comme en «design», puis dans l'ordre de la création scientifique (développée notamment par H. Simon : ne peut-on écrire un programme d'IA qui «invente» des lois scientifiques ?).

Conceiving : do we have at our disposal a pattern of the sequence of intellectual operations that the human mind undergoes while conceiving ? The question was asked by Paul Valéry. We hereby intend to discuss conception viewed as a cognitive act (discover or invent ? apply or plan ? ...), with a view to highlighting the prime patterns of the conceiving process as oulined by AI. We try and make our point with the help of two well known practical applications : computer aided design (CAD) and the interactive decision-making systems (IDMS). Their development goes to illustrate some of the concepts of design theories as well as their relationship to artificial intelligence considered as a processing of symbols. We continue by indicating a few landmarks, taking full advantage of the antinomy between analysis and conception, in order to bring out the different methods of conceiving in architecture, town-planning and «design». We then proceed in order of scientific creation (developed in particular by H. Simon who inquires whether it isn't possible to work out an artificial intelligence program capable of «inventing» scientific laws).

« L'histoire des Mathématiques et de la Philosophie montre qu'un renouvellement des méthodes de celles-là a, chaque fois, des répercussions sur celle-ci ». L'invention de nouvelles méthodes mathématiques (détermination des nombres irrationnels, invention de la géométrie algébrique, avènement du calcul infinitésimal, etc.) trouve toujours un écho dans les méthodes philosophiques de grandes métaphysiques (Platon, Descartes, Leibniz). Dès lors, l'auteur analyse le développement des méthodes de l'algèbre moderne depuis Galois, pour en dégager la philosophie théorique correspondante : la philosophie de l'algèbre. – 1. Le Théorème de Lagrange ; 2. Le Théorème de Gauss ; 3. La « méthode générale » d'Abel : preuves « pures » et démonstrations d'impossibilité ; 4. La Théorie de Galois ; 5. La Théorie de Klein ; 6. La Théorie de Lie ; Conclusion. – La Mathématique universelle ; Note 1 : « Sur la notion mathématique de l'infini » ; Note 2 : « Sur les constructions géométriques dans les Éléments d'Euclide » ; Note 3 : « Le ''principe des relations internes'' » ; Bibliographie, pp. 559-575 ; Table des matières, pp. 577-582.

F. F.

En partant du constat que la représentation devient un problème épistémologique général au XVIIe siècle, cet ouvrage remonte aux sources de cette confluence pour identifier les différents courants qui l’ont précipitée. Les auteurs, dans un propos dense et concis, dénombrent ainsi quatre sources de ce contexte épistémologique historique : 1° la tradition rhétorique (d’Aristote à Quintilien en passant par Cicéron) ; 2° la tradition de la théorie de la vision issue des conceptions d’Aristote (tradition remise en question au début du XVIIe siècle avec l’élaboration d’une optique géométrique initiée par les travaux de Kepler) ; 3° la psychologie scolastique (de Thomas d’Aquin à Francisco Suarez et ses disciples en passant par Duns Scot) ; enfin 4° la philosophie naturelle d’inspiration mécaniste (Hobbes, Beeckman, Descartes), dans laquelle l’idée de transparence des procédures géométriques à travers des processus mécaniques servira selon Descartes de pierre de touche à une théorie générale de la représentation. En effet, le problème qui se pose et que les auteurs traitent dans le second chapitre (à travers une relecture des Règles pour la direction de l’esprit et de la Géométrie de Descartes) est le suivant : cette transparence procède-t-elle d’une vision évidente ou alors d’une opération effective ? Autrement dit : comment les mathématiques peuvent-elles s’appliquer à la réalité ? Par le recours à la géométrie ou grâce à l’algèbre ? Comme le montrent très bien les auteurs, tout le génie de Descartes a consisté à substituer aux chiffres particuliers de l’arithmétique les lettres générales du langage formulaire de l’algèbre afin que ces signes renvoient à des grandeurs inconnues, de nature géométrique, mais sans avoir recours à la figuration (et tout en conservant l’algorithme opératoire à l’œuvre dans le calcul arithmétique). L’algorithme est ce qui doit en effet permettre de calculer des grandeurs indéterminées (au sens où elles sont inconnues), c’est-à-dire de les déterminer, à travers la mise en équation des problèmes géométriques (équations dont la fonction est de résoudre ces problèmes) : la résolution se parachevant dans la mesure des quantités inconnues. L’algèbre se présente ainsi comme une technique de résolution qui court-circuite la visualisation au profit de l’opération effective. L’effectivité invisible des opérations algébriques devient alors le critère probant et objectif de certitude qui se substitue aux critères intuitifs et subjectifs de clarté et de distinction. En outre, les auteurs montrent aussi comment Descartes instrumentera en retour la géométrie au service de l’algèbre en transformant les opérations de l’algèbre en constructions géométriques, afin de résoudre des problèmes algébriques grâce à des théorèmes de géométrie (problèmes de mesure grâce au théorème de Pythagore et problèmes d’ordre grâce au théorème de Thalès). Existe-t-il d’autres disciplines du savoir dans lesquelles le rapport entre visualisation géométrique et démonstration apodictique a trouvé un échange fécond au XVIIe siècle ? C’est ce que montrent les auteurs dans un troisième chapitre consacré à la philosophie naturelle de Robert Hooke (1635-1703), qui, grâce à l’usage d’instruments optiques comme le microscope et le télescope, a permis de subvertir le statut émotionnel, poétique et métaphorique de l’image (véhiculé à travers la tradition rhétorique) grâce à l’usage épistémique de l’image dessinée (produite sous le contrôle attentif de la réalité examinée par l’observation instrumentale minutieuse). Enfin, dans le dernier chapitre, ils étudient le rôle de la visualisation dans la compréhension de la démonstration mathématique, et analysent le désaccord entre Newton et Leibniz concernant l’usage des techniques du calcul différentiel (usage synthétique chez le premier et analytique chez le second). – Bibliographie, pp. 115-120 ; Index, pp. 121-123 ; Table des illustrations, p. 125 ; Table des matières, pp. 127-128.

F. F.

L'ouvrage s’inscrit dans le champ de la philosophie des mathématiques et développe son projet selon une double perspective : — historique, avec la genèse du concept de prédicativité tel qu’il se dégage peu à peu dans les discussions sur la raison d’être des antinomies entre Poincaré, Russell, Zermelo et Peano (« Six ans de discussions, 1906-1912 ») ; — systématique, avec l’analyse des conditions propres à préserver la prédicativité en tant que critère de l’admissibilité en mathématiques (« Construction d’un univers prédicatif »). Les formulations poincaréiennes de la prédicativité et le cadre philo­sophique correspondant sont l’objet d’une étude où se révèlent leurs inter­dépendances exactes : compatibilité du « pragmatisme » de Poincaré avec le prédicativisme (« Logicisme et 'pragmatisme'»). L’actualité de l’idée poincaréienne s’affirme à travers des applications dans des travaux récents de la théorie de la démonstration (« Des antinomies à l'exigence de prédicativité »). — Bibliogr. ; — Liste des sigles et signes ; — Index des noms. M.-M. V.