Issu de cours professés au Collège de France en 1914-1915 et en 1918-1919, cet ouvrage étudie les principes, les moments et les critères propres aux démarches essentielles de la pensée mathématique pure. – Après une Introduction qui montre pourquoi il importe de prendre l’Analyse pour objet de réflexion (chap. I-IV : Introduction générale; Limitation du sujet; L’analyse pure; Position du problème), l’examen de ce qui assure la rigueur de la pensée mathématique de poursuit à travers une série d’études sur les définitions, envisagées en elles-mêmes et dans l’idée de nombre (chap. V-XVIII : La préface logique; Les définitions; L’idée de fonction logique; Lois et paradoxes de la définition; Les indéfinissables; Les postulats de l’analyse; Justification des postulats initiaux; L’idée de nombre : de l’intuition fondamentale; L’idée de nombre : empirisme et rationalisme; L’idée de nombre : essai d’une définition logique; L’idée de nombre : conclusions sur les tentatives de définition logique; L’idée de nombre : définition mathématique; La généralisation du nombre; Les concepts fondamentaux et les grands problèmes de l’analyse). Suivent des études sur les théorèmes (chap. XIX-XX : Les théorèmes d’existence; Les théorèmes de calcul et les théorèmes de connexion) et sur Le Raisonnement analytique (chap. XXI). Enfin, l’examen de ce qui permet le progrès de cette même pensée vient préciser, à partir de la notion de construction en analyse, les principaux problèmes que pose à l’esprit l’extension de la science mathématique (chap. XXII-XXIX : De la généralisation progressive; L’origine des constructions mathématiques et les sources immanentes de l’analyse; L’expérience mathématique; Des faits mathématiques; De la vérité mathématique; De la vérité en analyse; De l’intuition en analyse; Le problème de l’infini). – Sous forme d’Appendice, on trouve une réimpression de cinq leçons sur «Les principes fondamentaux de l’Analyse mathématique», publiées dans la Revue des Cours et Conférences, en juin-juillet 1924 : traitant des nombres irrationnels, des ensembles de nombres, des suites numériques et de la notion de limite, «elles viennent éclairer plusieurs remarques trop brèves du cours principal sur l’idée de nombre et sa généralisation». M.-M. V.

Paru en 1902 (Coll. «Bibliothèque de philosophie scientifique»), et maintes fois réédité, ce texte est le premier livre philosophique qu’ait écrit Poincaré. Le dessein général de l’œuvre est clair : au conventionalisme systématique et généralisé de savants et philosophes tels que Le Roy, Poincaré répond par une étude critique. S’interrogeant sur le rôle et les limites des conventions dans la science, il montre que ces conventions, fondamentales dans le domaine moyen de la Géométrie et de la Mécanique rationnelle, voient leur importance diminuer tant dans le domaine pur de l’Arithmétique et de l’Analyse que dans le domaine expérimental de la Physique. Cette position distribue de manière inédite les fonctions respectives qu’exercent le langage, l’esprit et la nature dans la connaissance. – Partie I, «Le nombre et la grandeur» : Chap. I, Sur la nature du raisonnement mathématique (Revue de métaphysique et de morale, 2e a., juillet 1894, pp. 371-384); Chap. II, La grandeur mathématique et l’expérience (ibid., 1er a., janv. 1893, pp. 26-34, sous le titre : «Le continu mathématique»). – Partie II, «L’espace» : Chap. III, Les géométries non euclidiennes (Revue générale des Sciences pures et appliquées, t. 2, 15 déc. 1891, pp. 769-774); Chap. IV, L’espace et la géométrie; Chap. V, L’expérience et la géométrie (The Monist, V. 9, 1898-1899, oct. 1898, pp. 1-43, sous le titre : «On the Foundations of Geometry»). – Partie III, «La force» : Chap. VI, La mécanique classique (Revue de métaphysique et de morale, 6e a., janv. 1898, pp. 1-13, sous le titre : «La Mesure du temps»); Chap. VII, Le mouvement relatif et le mouvement absolu; Chap. VIII, Énergie et thermodynamique. – Partie IV, «La nature» : Chap. IX, Les hypothèses en physique; Chap. X, Les théories de la physique moderne; Chap. XI, Le calcul des probabilités (Revue générale des Sciences pures et appliquées, t. 10, 15 avr. 1899, pp. 262-269, sous le titre : «Réflexions sur le calcul des Probabilités»); Chap. XII, L’optique et l’électricité; Chap. XIII, L’électrodynamique; Chap. XIV, La fin de la matière. M.-M. V.

Les nombres à eux seuls présentent toute la fascination des mathématiques, des concepts les plus élémentaires (les nombres entiers) aux plus subtils (les nombres complexes), des applications les plus concrètes (comptabilité, ingénierie) aux problèmes les plus abstraits (théorie des nombres premiers). À travers neuf chapitres, cet ouvrage présente un voyage dans l'univers des nombres, où la science n'exclut ni l'art ni la philosophie, et où le sérieux n'interdit pas l'humour. Plusieurs des illustrations qui enrichissent le texte présentent d'autre part un intérêt historique, étant des reproductions d'ouvrages anciens. Sommaire : – Petite histoire des chiffres : les systèmes de numérotation; – Le nombre ailleurs que chez lui; – La vie passionnante d'une famille nombreuse; – Sa majesté le nombre premier; – De la métaphysique... aux beaux-arts; – Les figures régulières; – Les nombres peuvent aussi mesurer l'infini; – Deux nombres vedettes : a et e; – L'imaginaire en mathématiques ou les exploits du nombre i. M.-M. V.

Le présent ouvrage est un recueil de textes extraits pour la plupart de diverses revues et publications, et rédigés entre 1965 et 1974. Jean-Toussaint Desanti y poursuit son enquête sur la production et la validation dans les sciences exactes. Les problèmes épistémologiques se situent au lieu de rencontre de la technique, de la sémantique et de l'épistémologie. Le thème de l'épistémologie est circonscrit sur la base de déterminations précises concernant le mode d'être des objets de connaissance et le mode d'opérer de celle-ci. M.-M. V.

I. La recherche des premières raisons au royaume de la vérité : Les sciences a priori et les autres; Concept et intuition, analytique et synthétique; La théorie des sciences purement a priori ou théorie du sens objectif. – II. La reconstruction axiomatique et l’arithmétisation des mathématiques : La connexion objective des vérités; Concepts primitifs; L’arithmétisation. – III. Les ensembles infinis : Le concept d’infini actuel; Les grandeurs et les nombres; Les divers infinis. – IV. Les nombres de l’arithmétique pure. – Conclusion.

Partant du principe que «partout où il y a nombre, il y a beauté», l’article couvre le domaine entier des arts, intéressant également la plastique, la musique et, éventuellement, la poésie. M.-M. V.

Pour commémorer le dixième anniversaire de la mort de Gilles Châtelet, les éditions Rue d’Ulm publient un ensemble de textes philosophiques inédits ou devenus introuvables - à la fois pendant, genèse et prolongement du volume Les Enjeux du mobile. Mathématique, physique, philosophie, paru aux éditions du Seuil en 1993. La rencontre de Châtelet avec Gilles Deleuze en 1972 aura eu une influence décisive sur son cheminement philosophique, initiant un geste de pensée dont on retrouve la présence en filigrane dans tous ses textes théoriques. Dernier penseur romantique du XXe siècle, il estimait qu’ «il y a une espèce de bouleversement propre à la philosophie qu’il est important d’avoir jeune [...] il faut avoir un rapport à la fois naïf et professionnel à la philosophie pour apprécier le frisson et l’audace du spéculatif. Novalis disait : “À qui ne plairait pas une philosophie dont le germe est un premier baiser ?”». Il faut reconnaître en Châtelet le penseur de l’individuation et de la magnification des libertés humaines, mais également un théoricien du virtuel et du diagramme. L’ouvrage se fait l’écho de son débat avec des figures contemporaines majeures : Alain Badiou, Gilles Deleuze, Roger Penrose ou René Thom. Il comprend le dernier manuscrit de l’auteur retrouvé sur sa table de travail après son suicide. – L'importante Introduction de Charles Alunni («Des enjeux du mobile à l'enchantement du virtuel – et retour» et la «Documentation et Bibliographie», établies par Catherine Paoletti, encadrent les dix-huit textes de Gilles Châtelet, ici rassemblés selon deux grandes Parties : – I. Enjeux : – 1. «Principes épistémologiques et programme de recherches». Tapuscrit inédit transcrit par Charles Alunni à la demande de Gilles Châtelet et rédigé après son intervention au laboratoire disciplinaire “Pensée des sciences” à l'ENS-Ulm le 29 février 1996; – 2. «Singularité, métaphore, diagramme». Ce texte correspond au dernier manuscrit de Gilles Châtelet; – 3. «Sur une petite phrase de Riemann». Texte initialement paru dans Analytiques (Psychanalyse-Écritures-Politiques), n° 3, mai 1979. Paris, Christian Bourgois, pp. 67-75. Son tapuscrit a été déposé par Raymond Aron à la bibliothèque du Centre Koyré; – 4. «Le potentiel démoniaque. Aspects philosophiques et physiques de la théorie de jauge». Texte initialement publié sous le titre : «Le retour de la monade. Quelques réflexions sur le calcul différentiel et la mécanique quantique», in Fundamenta Scientiae, vol. 6, n° 4, Oxford, Pergamon Press, 1985, pp. 327-345; repris dans le cadre des actes du colloque international de Cerisy-la-Salle («Jubilé» en l'honneur de René Thom, 7-17 septembre 1982), in Jean Petitot (éd.), Logos et théorie des catastrophes (à partir de l'œuvre de René Thom), Genève, Patino, 1988, pp. 199-214; – 5. «La physique mathématique comme projet. Un exemple : la “grande unification des forces». Séminaires interdisciplinaires du Collège de France, sous la dir. d’André Lichnerowicz, François Perroux et Gilbert Gadoffre. Texte publié in André Lichnerowicz, François Perroux et Gilbert Gadoffre (éd.), Projet et programmation. Paris, Maloine, 1986, pp. 21-38 ; – 6. «L’enchantement du virtuel». Exposé du 3 juin 1986 au Collège international de philosophie ; paru dans Chimère (Schizoanalyses), n° 2, été 1987, pp. 64-82 ; – 7. «Quelle philosophie pour la science d’aujourd’hui ?». Propos recueillis par Philippe Chambon et publiés sous le titre : «Quelle philosophie pour la science d’aujourd’hui ? Aux avant-postes de l’obscur», Cahier Euréka, Libération, 5 décembre 1990, p. 26 ; – 8. «La philosophie aux avant-postes de l’obscur». Revue des Deux Mondes, février 1995, pp. 130-136 ; – 9. «Mettre la main à quelle pâte ?». L’Âne, «Enquêtes et entretiens», n° 59, janvier 1995, pp. 20-24 ; – 10. «La mathématique comme geste de pensée». Entretien sur France-Culture, Les Chemins de la connaissance, «Les philosophes et les mathématiques», 3 octobre 1997 ; – 11. «La géométrie romantique comme nouvelle pratique intuitive». Publié dans Le Nombre, une hydre à n visages. Entre nombres complexes et vecteurs. Paris, Éditions de la Maison des sciences de l’homme, 1997, pp. 149-162. – Partie II. Figures : – 12. «Alain Badiou : le Nombre et les nombres». L’Annuaire philosophique 1989-1990. Paris, Le Seuil, 1991, pp. 117-132 ; – 13. «Gilbert Simondon (1924-1989)». In Encyclopedia Universalis, 1990, série «Vies et portraits – Les vies», p. 629 ; – 14. «L’univers de Roger Penrose. Un royaume dont le prince est un enfant». Analyse du livre de cet auteur, The Emperor’s New Mind. Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics (Oxford, Oxford University Press, 1989) ; – 15. «René Thom et Gilles Châtelet : dialogue impromptu». Retranscription datée du 23 mars 1995, sans aucune autre indication ; – 16. «À propos du livre de Roger Penrose : Les Ombres de l’esprit». In L’Aventure humaine, avril 1996, pp. 97-106 (version courte) ; – 17. «Autour du vrai-faux rapport d’Éric Alliez ; “De l’impossibilité de la phénoménologie”». Futur antérieur, «Politique du travail», 35-36. Paris, L’Harmattan, 1996/2, pp. 221-231 ; – 18. «Pour Deleuze, penseur du déclic». Libération, rubrique «Rebonds», 6 et 7 avril 1996. Études, tome 384, n° 4 (3844), avril 1996, pp. 493-495.

Les interprétations cognitivistes et les controverses sur les «limites» de l'intelligence artificielle sont replacées dans l'histoire des sciences (en particulier le chemin qui a conduit la psychologie du behaviorisme à la psychologie cognitive en passant par Skinner et l'opérationisme) et sont discutées du point de vue philosophique et épistémologique. Deux postulats sur lesquels reposent ces interprétations et controverses sont énoncés : l'un concerne la transparence du langage et l'autre l'individualité de la pensée. L'idée que les «sciences de la cognition», avec l'appui de l'IA et des neurosciences, renouvelleraient fondamentalement le débat épistémologique, est mise en question. Il est montré au contraire qu'à propos du langage et de la mémoire, et à la différence notamment de la psychanalyse, l'interprétation cognitive de l'IA et des neurosciences reprend à son compte les postulats traditionnels de la psychologie concernant la pensée et la connaissance.

The cognitivist interpretations of AI and the controversies about its limits are situated into the history of sciences (especially the way which has led psychology from behaviorism to cognitive psychology, through Skinner and operationism); their epistemological and philosophical aspects are discussed. Two postulates underlying these interpretations and controversies are stated : the first one concerns the transparency of language and the second one the individuality of the thought processes. The idea according to which «cognitive sciences», with the help of AI and neurosciences, imply a fundamental change in the epistemological debate is challenged. As regard language and memory, it is shown, on the contrary, that, unlike in particular psychoanalysis, the cognitivist interpretation of AI and of neurosciences relies on the traditional epistemological assumptions of psychology.

Science de la vie mentale, la psychologie cognitive tente d'énoncer les lois générales de la pensée à l'intersection des lois chimiques, des lois biologiques, des lois algorithmiques et des lois physiques internalisées dans le système nerveux au cours de son évolution et de son développement. Dans cette leçon inaugurale (n° 186) de la Chaire de Psychologie cognitive et expérimentale du Collège de France prononcée le jeudi 27 avril 2006, le professeur Stanislas Dehaene se concentre sur un objet particulier de la psychologie cognitive – l'arithmétique mentale – et l'identification des différentes lois qui régissent cette fonction cognitive. Il présente ainsi un renouveau du programme psychophysique du XIXe siècle devenu neuro-physique, c'est-à-dire enraciné dans un sol neuronal. – 1. À la recherche des lois universelles en psychologie ; 2. L'origine ancienne des concepts arithmétiques ; 3. Les lois psychophysiques de l'arithmétique mentale ; 4. Les neurones des nombres ; 5. La chronométrie mentale de la décision ; 6. Les lois neurales de la décision ; 7. La décomposition d'une opération mentale ; 8. Les mécanismes de la reconnaissance visuelle des mots ; 9. La coordination de plusieurs opérations mentales ; 10. La supervision centrale et son lien avec l'accès à la conscience.

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Cet article porte sur le logicisme frégéen au sens large, c’est-à-dire sur l’effort mis en œuvre par Frege pour dégager la logique de la déduction au cœur de toute pratique discursive (Parties I et II). Dans un second temps, il s’attache à montrer plus particulièrement celle qui règle la justification logique de l’arithmétique, et dont les concepts fondamentaux (identité, concept, objet, relation) permettent à Frege de proposer une redéfinition du nombre, purement logiciste (Partie III). Dans un dernier temps, l’auteur interroge l’effort mis en œuvre par Frege pour donner les preuves au fondement de la vérité des propositions arithmétiques élémentaires (Partie IV). – I. Introduction ; II. La justification logique des mathématiques ; III. Le statut de l’analyticité et de la définition logique du nombre ; IV. La question des vérités primitives.

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Cet ouvrage est une enquête sur l’idée de nature depuis la fin du XVIe siècle. Il vise à mettre au jour les modes de dévoilement de ce à quoi renvoie cette idée, et pose le problème de la fabrication d’une nouvelle idée de la nature qui soit en accord avec notre existence et notre responsabilité, à l’ère de l’innovation technologique permanente. Dans un premier temps (chapitre 1) l’auteur montre que l’idée copernicienne de la nature a consisté en une pensée de l’incarnation de la perfection divine dans les formes naturelles (forme sphérique, mouvement circulaire, etc.). C’est ce passage de la forme substantielle (aristotélico-scolastique) à la forme géométrique qui a favorisé la pénétration de la géométrie dans l’intelligence des phénomènes, et conduit à une nouvelle idée de nature au XVIIe siècle, grâce aux travaux fondateurs de Galilée. Le dévoilement « mécanico-géométrique » de la nature a en effet conduit, comme le montre l’auteur, à la constitution progressive d’une science naturelle du mouvement qui a ouvert une nouvelle époque, celle de la « nature-atelier » (chapitre 2), dans la mesure où l’idée de nature a commencé à renvoyer à « une force productive vouée à l’épuisement ». Le troisième chapitre porte sur les transformations mathématiques qui, engagées dès la fin du XVIIe siècle (notamment avec l’invention du calcul différentiel et intégral) puis poursuivies au XVIIIe siècle (dans un mouvement d’abstraction progressif où les calculs algébriques se sont substitués aux figures géométriques) ont conduit au dévoilement d’un nouvel ordre, celui du raisonnement algorithmique : « une nouvelle physique, un nouveau rapport ontologique à l’espace géométrique, peut dès lors se mettre en place » (p. 117). L’émergence de l’ordre algorithmique fait apparaître un nouveau mode de dévoilement de la nature, où la force mouvante de la « nature-atelier » est peu à peu mise en demeure de fournir du travail moteur : la « nature-atelier » se transformant au XIXe siècle en « nature-énergie » (chapitre 4). La radicalisation de l’ordre algorithmique au sein de la « nature-énergie » menant à un nouveau mode de dévoilement : celui de la « nature-computationnelle », époque de la réduction intégrale de l’être et de l’existence au nombre et à la mesure (chapitre 5). – Sommaire, p. 9 ; Introduction, pp. 11-21 ; Épilogue : « L’ouverture des possibles : vers une nouvelle idée de nature », pp. 191-209 ; Index des noms, pp. 211-216.

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L’objet de cet article est d’analyser et de comprendre les enjeux de la thèse de Louis Couturat – intitulée De l’infini mathématique (1896) – à partir de ses sources mathématiques et historiques (Cantor et Dedekind). Au-delà de la seule évaluation du statut de l’infini mathématique, il ouvre à un questionnement plus large : 1° sur l’essence de la philosophie ; 2° sur son rapport aux sciences. – 1. La philosophie comme réflexion métascientifique ; 2. Exposé critique de la généralisation arithmétique du nombre (Tannery, Kronecker) ; 3. Exposé critique de la genèse « naturelle » ou algébrique des concepts de nombre (Dedekind) ; 4. Fondation rationnelle des extensions de l’ensemble des nombres : la référence à la notion de grandeur continue ; 5. La genèse rationnelle des concepts mathématiques ; 6. Du primat de l’intuition rationnelle au logicisme.

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