Le problème central de toute la connaissance est celui de l’adéquation du rationnel au réel. En mathématiques, cette «Crise des Fondements» a pris une forme particulièrement aiguë en opposant, de façon en apparence irréductible, la notion classique et platonicienne de la vérité mathématique à la notion intuitionniste du vrai de l’école de Brouwer. Rétablir l’unité «qui va en se perdant» ne passe pas par quelque système philosophique, mais par une systématique, une «Théorie de l’adéquation», que l’auteur nomme ici l’«idonéisme». – Chap. I, «Explications préliminaires. Les buts et les vues de l’auteur»; II, «Le paradoxe du langage»; III, «La construction de la réalité»; IV, «Le double visage de l’abstrait»; V, «L’autonomie de l’abstrait (La méthode déductive en géométrie)»; VI, «La nature du nombre entier»; VII, «Jugements sur la logique»; VIII, «La physique de l’objet quelconque (La logique est d’abord une science naturelle)»; IX, «La physique intuitive des qualités. L’objet aristotélicien»; X, «Les types»; XI, «Théorie du vrai et du faux»; XII, «“Tous” et “l’un ou l’autre”»; XIII, «La méthode axiomatique»; XIV, «Les antinomies»; XV, «Les structures»; XVI, «Expliquer et définir (Le principe d’analogie)»; XVII, «Déduire et démontrer»; XVIII, «Conclusion (Dialogue)». M.-M. V.

Réunit : – 1. "La démonstration de Gödel" / Ernest Nagel et James R. Newman, trad. de : "Gödel's proof". – 2. "Sur les propositions formellement indécidables des Principia mathematica et des systèmes apparentés I" / Kurt Gödel, trad. de : "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I". – 3. "Le champ du signe ou La faillite du réductionnisme" / Jean-Yves Girard. – En 1931, Kurt Gödel démontre, dans un article révolutionnaire, l’incomplétude de tout système axiomatique contenant la théorie des nombres. Ce théorème, qui bouleverse la question du fondement de la philosophie des mathématiques, se distingue par la nouveauté de ses procédés de démonstration et ses difficultés techniques. L’intérêt de ce volume est de proposer, outre la traduction de l’article original de Gödel, deux études propres à le mettre en perspective : – on trouve ainsi le livre que E. Nagel et J. R. Newman ont consacré à «la démonstration de Gögel», texte conçu pour mener le lecteur non spécialisé au cœur de l’argumentation de Gödel; – puis le texte de J.-Y. Girard rend compte des problèmes d’«interprétations» que pose le théorème de Gödel, problèmes qui sont l’affaire des mathématiciens engagés dans la recherche logique contemporaine. M.-M. V.

Voir Abstracts des Articles. M.-M. V.

Applied mathematics often operates by way of shakily rationalized expedients that can neither be understood in a deductive-nomological nor in an anti-realist setting.Rather do these complexities, so a recent paper of Mark Wilson argues, indicate some element in our mathematical descriptions that is alien to the physical world. In this vein the “mathematical opportunist ” openly seeks or engineers appropriate conditions for mathematics to get hold on a given problem.Honest “mathematical optimists”, instead, try to liberalize mathematical ontology so as to include all physical solutions. Following John von Neumann, the present paper argues that the axiomatization of a scientific theory can be performed in a rather opportunistic fashion, such that optimism and opportunism appear as two modes of a single strategy whose relative weight is determined by the status of the field to be investigated. Wilson's promising approach may thus be reformulated so as to avoid precarious talk about a physical world that is void of mathematical structure. This also makes the appraisal of the axiomatic method in applied matthematics less dependent upon foundationalist issues.

I. La recherche des premières raisons au royaume de la vérité : Les sciences a priori et les autres; Concept et intuition, analytique et synthétique; La théorie des sciences purement a priori ou théorie du sens objectif. – II. La reconstruction axiomatique et l’arithmétisation des mathématiques : La connexion objective des vérités; Concepts primitifs; L’arithmétisation. – III. Les ensembles infinis : Le concept d’infini actuel; Les grandeurs et les nombres; Les divers infinis. – IV. Les nombres de l’arithmétique pure. – Conclusion.

I. Axiomatique et fondements des mathématiques. – II. Mathématiques et réalité. – III. La physique de l’objet quelconque et les origines de la logique. – IV. Le problème de l’espace et les origines de la géométrie. – V. La philosophie ouverte ou l’«idonéisme» comme méthode.

À l’occasion de réflexions sur l’axiome du choix, Zermelo et Poincaré sont amenés à préciser ce qui doit être au fondement des mathématiques et peut servir à justifier un axiome. Défendant l’autonomie des mathématiques, chacun d’eux invoque une intuition mathématique spécifique visible dans la pratique du mathématicien. D’abord, nous explicitons ce qui distingue l’attitude du mathématicien de celle du logicien, en prenant l’exemple de Zermelo. Puis, pour déterminer la nature réelle de l’intuition invoquée et la position précise de Zermelo, nous analysons dans le détail son argumentation en dissipant certaines confusions relatives aux notions d’évidence et d’intuition. Nous étudions, ensuite, les arguments de Poincaré destinés à établir, premièrement, que les mathématiques doivent avoir un fondement intuitif et, deuxièmement, qu’il est possible d’offrir un tel fondement à l’axiome du choix. Nous montrons qu’ils prouvent moins que Poincaré ne le croyait. Cette analyse comparative des thèses de Zermelo et de Poincaré nous permet de distinguer un vrai intuitionnisme d’une position faussement semblable où l’«intuition» résulte de la pratique et de la culture acquises dans la discipline. À la lumière de cette distinction, nous réévaluons les arguments avancés par chacun d’eux.

1, Introduction; 2, Langage et sémantique; 3, Axiomatique; 4, Mise en forme normale; 5, Correction et complétude; 6, Déduction automatique dans ASSUME; 7, La représentation du changement dans ASSUME; 8, Discussion.

1, Principes généraux de la logique de la quantification; 2, La langue-objet idéale; 3, La sémantique formelle; 4, Un système axiomatique; 5, Lois valides.

Sur le problème de la conception unitaire des mathématiques : y a-t-il aujourd’hui une mathématique ou des mathémtiques ? – Formalisme logique et méthode axiomatique; – La notion de «structure»; – Les grands types de structures; – La standardisation de l’outillage mathématique; – Une vue d’ensemble; – Retour sur le passé et conclusion. M.-M. V.

Une bonne classification des sciences présuppose une certaine conception quant aux origines des diverses notions scientifiques et quant aux actions qu’elles peuvent et devraient exercer les unes sur les autres. Elle constitue, par cela même, une position non seulement philosophique, mais proprement scientifique. M.-M. V.

According to Vuillemin, science requires in order to be possible : (1) a complete revolution in the use of linguistic signs, (2) theoretical determination, (3) theory of truth. As opposed to science, myth has no linguistic univocity, there is no biunivocal relation between signs and contents. – From myth to philosophy : the role of the axiomatic method; – Jule Vuillemin’s a priori classification of philosophical systems based on the classification of predications; – Predications correspond to the ontological principles.

Mathematics depends on proofs, and proofs must begin somewhere, from some fundamental assumptions. For nearly a century, the axioms of set theory have played this role, so the question of how these axioms are properly judged takes on a central importance. Approaching the question from a broadly naturalistic or second-philosophical point of view, Defending the Axioms isolates the appropriate methods for such evaluations and investigates the ontological and epistemological backdrop that makes them appropriate. In the end, a new account of the objectivity of mathematics emerges, one refreshingly free of metaphysical commitments. – Contents : Introduction. – 1. The Problem; – 2. Proper Method; – 3. Thin Realism; – 4. Arealism; – 5. Morals.

D'une part, quelles théories mathématiques et physiques ont permis de faire émerger la nouvelle physique au début du XXe siècle ? D'autre part, quelles leçons épistémologiques Bachelard a-t-il tiré de cette communauté structurale du géométrique et du physique révélée par la théorie de la relativité générale d'Einstein ? L'objet de cet article est de montrer d'une part que Bachelard a compris très tôt – dès l'Essai sur la connaissance approchée (1929) – la révolution impliquée par la géométrie riemannienne pour la compréhension des phénomènes physiques, et ceci grâce à Weyl, qui « a reconnu à la base de la nouvelle géométrie différentielle de Riemann (…) les mêmes principes théoriques que ceux qui ont animé la nouvelle physique des actions de contact, d'où la possibilité d'un parallélisme entre la géométrie riemannienne et la physique maxwellienne » (p. 20) ; d'autre part qu'il a su en tirer les conséquences épistémologiques, grâce à sa lecture de Espace-Temps-Matière (1918), dont la plus importante est la suivante : à savoir que « l'unité mathématique qui se constitue dans une axiomatique de la Physique commande entièrement l'unité du phénomène » (Bachelard, cité par Alunni p. 22). – Liste des références bibliographiques, p. 24. F. F.

Montrer d'une part l'importance des travaux, d'autre part l'influence des positions de Federigo Enriques et Hermann Weyl dans les oeuvres épistémologiques de Gaston Bachelard et Ferdinand Gonseth, tel est l'objet de cet article. En effet, pour Bachelard et Gonseth, les oeuvres de ces deux mathématiciens – contemporaines de changements majeurs dans l'histoire des mathématiques et de la physique, ceux du début du XXe siècle – ont articulé problèmes scientifiques et questions philosophiques dans un contexte de crise. Ils ont ainsi impulsé un programme de recherche qui met au premier plan l'importance de l'approche historique dans la compréhension intime de la science mathématique, fondamentalement abstraite et créatrice, et dont l'activité est porteuse d'une philosophie implicite qui en est le moteur, le vecteur et le principe de croissance. Cette philosophie implicite, tel est l'objet de l'épistémologie mathématique, définie d'une part comme réflexion historique et critique sur les fondements des mathématiques, d'autre part comme analyse de la formation de ses concepts. – Liste des références bibliographiques, p. 86-87. F. F.

Structural proof theory is a branch of logic that studies the general structure and properties of logical and mathematical proofs. This book is both a concise introduction to the central results and methods of structural proof theory, and a work of research that will be of interest to specialists. The book is designed to be used by students of philosophy, mathematics and computer science. The book contains a wealth of results on proof-theoretical systems, including extensions of such systems from logic to mathematics, and on the connection between the two main forms of structural proof theory - natural deduction and sequent calculus. The authors emphasize the computational content of logical results. – Contents : – Introduction. – 1. From natural deduction to sequent calculus; – 2. Sequent calculus for institutionistic logic; – 3. Sequent calculus for classical logic; – 4. The quantifiers; – 5. Variants of sequent calculi; – 6. Structural proof analysis of axiomatic theories; – 7. Intermediate logical systems; – 8. Back to natural deduction. – Conclusion: diversity and unity in structural proof theory. – Appendix A. Simple type theory and categorical grammar; – Appendix B. Proof theory and constructive type theory; – Appendix C. A proof editor for sequent calculus [By Aarne Ranta]. – Includes bibliographical references (p. 245-249) and indexes.

Cet article étudie les réflexions de Whitehead sur la méréologie, la théorie formelle de la relation entre la partie et le tout. – Références bibliographiques, pp. 230-231 ; Notes, pp. 232-233. F. F.

This paper studies Whitehead's reflections about mereology, the formal theory of the part-whole relation. – References, 230-231 ; Notes, 232-233. F. F.

Cet article traite de l'évolution de l'ontologie de Whitehead, caractérisée par un effort d'axiomatisation centré sur le concept d'extension. – Notes, pp. 271-273. F. F.

This paper studies the evolution of Whitehead's ontology, characterised by an effort of axiomatization, which is focused on the concept of extension. – Notes, 271-273. F. F.

Le but de ce livre est d'étudier d'une part la philosophie des mathématiques et l'influence des idées philosophiques sur le développement des mathématiques elles-mêmes ; d'autre part la notion de construction mathématique. L'ouvrage est divisé en quatre sections, et comporte des ajouts par rapport à la première édition allemande de 1934. La première partie est une introduction à l'intuitionnisme, la seconde, un exposé sur les travaux de l'école de Hilbert (Ackermann, Bernays, Herbrand, Von Neumann) et les premiers travaux en métamathématiques. La troisième partie étudie les conceptions du fondement des mathématiques de Gerrit Mannoury (relativiste et pragmatique) et Moritz Pasch (empiriste) ; la quatrième, la question du rapport entre les mathématiques et les sciences de la nature. – Bibliographie, pp. 77-87 ; Table des matières, pp. 89-91.

F. F.

Que doit-on entendre par caractère inductif d'une théorie scientifique ? En quoi la relativité einsteinienne possède-t-elle une valeur inductive, à la différence de la gravitation newtonienne ? Selon Bachelard, une théorie scientifique possède une valeur inductive non pas lorsqu'elle part d'une réalité donnée pour arriver à une théorie générale qui la subsume comme un cas particulier, mais lorsque la réalité, objet d'une conquête théorique, actualise sous la forme d'une preuve positive la généralité qui la mathématise. Le réel n'instruit que parce qu'une construction théorique le précède, le prédit et le prévoit : « ce qui peut être généralisé, c'est ce qui doit être généralisé, c'est cela même qui achèvera notre connaissance de la Réalité. » (p. 52) La Relativité possède une valeur inductive car elle fournit une méthode de généralisation (procédant par adjonctions formelles, algébrisation et découverte d'invariance) et un instrument mathématique (le calcul tensoriel) qui permettent d'inclure la théorie newtonienne comme un cas particulier d'une théorie plus générale qui l'encadre : « dans les doctrines de la Relativité plus que dans toute autre, l'affirmation d'une possibilité apparaît comme antécédente à l'affirmation d'une réalité ; le possible est alors le cadre a priori du réel. Et c'est le calcul qui place le réel dans sa véritable perspective, au sein d'une possibilité coordonnée. L'esprit accepte alors une réalité qui est devenue une pièce de son propre jeu. » (p. 81) Ou comme l'écrit Bachelard « le réel se démontre, il ne se montre pas. » (p. 125) Ainsi, c'est en postulant la réalité des relations mathématiques et le caractère nominal des termes physiques que ces relations organisent, c'est en postulant « des liaisons plus que des objets » et en ne donnant « une signification aux membres d'une équation qu'en vertu de cette équation, prenant ainsi les objets comme d'étranges fonctions de la fonction qui les met en rapport », que la Relativité s'est constituée comme « un franc système de la relation » (p. 98). Matière, espace et temps sont d'abord des fonctions interdépendantes, qui forment un corps de relations. D'où cette affirmation de Bachelard aussi brillante qu'audacieuse à la fin de l'ouvrage, dont on peut alors comprendre le sens profond : « c'est au point que nous croyons pouvoir dire (…) que l'essence est une fonction de la relation. » (p. 208). – Chapitre I : Les doctrines de la relativité et l'approximation newtonienne ; chap. II : L'induction mathématique dans les doctrines de la Relativité ; chap. III : Le progrès de la relativation ; chap. IV : Le caractère formel des principes relativistes ; chap. V : Les garanties d'unité de la doctrine ; chap. VI : Simplicité et Raison suffisante ; chap. VII : Relativité et Réalité ; chap. VIII : La conquête de l'objectif ; Index des auteurs cités, pp. 255-256 ; Table des matières, p. 257.

F. F.

Dans cet ouvrage de 1937, Bachelard pose les jalons d'une « philosophie de la microphysique », i.e. de la mécanique quantique. La pensée qui la soutient est paradoxale, puisqu'elle contrevient à notre expérience ordinaire de la localisation des objets dans l'espace et nous révèle encore une fois la valeur inductive de la pensée scientifique, et plus particulièrement de la pensée mathématique. Si « le réel n'est jamais ce qu'on pourrait croire » mais « toujours ce qu'on aurait dû penser » (G. Bachelard, La Formation de l'esprit scientifique, Paris, Vrin, 1938) ; penser l'espace à l'échelle microphysique est une véritable gageure, car cela suppose une conversion totale de notre rapport à la réalité : le réel, de nouveau, n'est plus un point de départ, mais le terme d'une conquête théorique : « La réalité maxima est au bout de la connaissance, non point l'origine de la connaissance. » (p. 23) Dans le premier chapitre, Bachelard discute les thèses réalistes concernant la théorie de l'expérience de la localisation. La critique acérée qu'il leur inflige, dans une déconstruction du réalisme naïf de l'expérience première, lui permet ainsi d'introduire le problème de la localisation du réel tel que le pose en mécanique quantique le principe de Heisenberg (chap. II). En effet à cette échelle « l'expérience de localisation ne correspond jamais à un simple contact ; c'est toujours un choc. Ce n'est jamais une vision gratuite ; c'est toujours un échange énergétique. » (p. 35-36) Dès lors, ce que nous apprend la microphysique, c'est qu'au niveau de l'élément, il est impossible de séparer géométrie atomique et dynamique énergétique. En d'autres termes, ce que réalise la microphysique, c'est la synthèse de deux doctrines qui étaient jusqu'alors opposées : l'atomisme et l'énergétisme. Le fondement de la microphysique, Bachelard le nomme postulat de non-analyse. Son énoncé peut être circonscrit dans la formule suivante : « l'espace réel n'est pas susceptible d'une analyse absolue, purement géométrique » (p. 42). Le chapitre III pose ainsi le problème de la détermination des formes des micro-objets, conformément à la méthode axiomatique qui prend pour principe directeur de la recherche le postulat de non-analyse. Or la description active des micro-objets « ne peut que réaliser un schéma résumant des expériences multiples » (p. 72) : elle est donc essentiellement statistique. Dès lors, ce que révèle la microphysique, c'est que la méthode objective prime l'objet : la mise en oeuvre de cette méthode de production des phénomènes se fait au moyen d'outils mathématiques – les opérateurs – qui forment, comme l'écrit Bachelard, « un plan pour la réalisation des lois mathématiques » (p. 99), reliant ainsi les réalités mathématiques et les probabilités physiques (chap. IV). L'enjeu de la microphysique, c'est donc de démontrer « l'adéquation des vérités rationnelles et des vérités empiriques » (p. 109-110). En étudiant dans le chapitre V le rôle des espaces théoriques (espaces généralisés, espaces de configuration, espaces abstraits) dans la microphysique, Bachelard démontre comment la pensée abstraite, au terme d'une construction phénoménotechnique, « réussit à s'incorporer une donnée physique, sans rien perdre de sa valeur axiomatique » (p. 126). – Chapitre I : Réalisme et localisation ; chap. II : Le principe d'incertitude de Heisenberg et la localisation microphysique ; chap. III : Le principe de Heisenberg et la forme assignable aux corpuscules ; chap. IV : Les opérateurs mathématiques ; chap. V : Le rôle des espaces abstraits dans la Physique contemporaine ; Table des matières, p. 141.

F. F.

Cette seconde édition (corrigée et améliorée par rapport à la première datée de 2004) constitue une excellente introduction à l’œuvre logico-mathématique et aux réflexions épistémologiques de Kurt Gödel, auxquelles le développement de la pensée mathématique de la première moitié du XXe siècle est inséparable. Dans un premier temps, Pierre Cassou-Noguès montre comment la pensée mathématique qui s’est développée au XIXe siècle – et dont le couronnement fut incarné par la théorie des ensembles de Cantor – a engendré plusieurs paradoxes (ceux de Burali-Forti, Russell et Richard) qui induisirent la crise des fondements en mathématique (chapitre 1). Le chapitre 2 a pour fonction de replacer les travaux de Gödel dans ce contexte. La suite de l’ouvrage est consacrée à l’exposition détaillée et à l’explicitation analytique des résultats obtenus par Gödel au cours de ses recherches logiques, mathématiques et épistémologiques : les deux théorèmes de 1931 sur l’incomplétude de l’arithmétique élémentaire (chapitre 3) ; sa définition de la calculabilité et ses conséquences sur sa représentation de l’esprit humain (chapitre 4) ; son établissement de la consistance de l’hypothèse du continu sur la base des axiomes de la théorie des ensembles (chapitre 5) ; et enfin, ses traductions de l’arithmétique classique dans trois systèmes différents, dans le cadre de sa recherche sur le fondement de l’arithmétique menée entre 1933 et 1958 (chapitre 6). L’ouvrage se termine sur un chantier ouvert par Gödel, qui d’une certaine manière, sera mis en œuvre par les premiers « catégoriciens » (i.e. les inventeurs et les utilisateurs de la théorie mathématique des catégories) : celui consistant à thématiser les opérations finitistes de l’activité mathématicienne, afin de découvrir de nouveaux objets et de constituer de nouveaux concepts. – Repères chronologiques, pp. 9-10 ; Introduction, pp. 11-16 ; Notices des principales figures évoquées, pp. 175-183 ; Bibliographie, pp. 185-187 ; Table des matières, pp. 189-190.

F. F.

[Réédition du livre de 1929 accompagnée d’une préface de Daniel Parrochia]. – Dans cet ouvrage, Bachelard propose une analyse de la théorie de la relativité quatorze ans après les travaux d’Einstein sur la relativité générale. En réponse à La déduction relativiste d’Émile Meyerson parue quelques années plus tôt, l’auteur aborde cette théorie du point de vue de sa construction, en insistant sur le cheminement de la pensée relativiste. L’ouvrage de Bachelard est divisé en trois livres. Dans le premier livre, l’auteur commence par examiner la théorie de la relativité à travers la notion d’approximation. Il montre ensuite que la construction de la théorie de la relativité repose sur une forme d’induction, non pas au sens d’une induction empirique, mais au sens d’une généralisation mathématique et conceptuelle. En effet, la théorie de la relativité utilise le formalisme du calcul tensoriel qui généralise le calcul vectoriel de la mécanique de Newton. De plus, des concepts physiques sont unifiés au sein de cette théorie. Par exemple, les concepts de masse et d’énergie sont unifiés dans un « complexe masse-énergie » (p. 153) lui-même généralisé avec l’adjonction du concept d’impulsion. Dans le deuxième livre, l’auteur aborde la question du rapport entre la théorie de la relativité et le réel. Selon lui, les principes de cette théorie ne sont pas tirés de « l’examen de la réalité mais d’une réflexion sur les conditions de la réalité » (p. 167). Ils forment en ce sens des conditions générales d’objectivité. Bachelard examine ensuite l’unité de la théorie de la relativité avant d’analyser le principe de simplicité qui serait sous-jacent à l’élaboration de cette théorie. Dans le troisième et dernier livre, l’auteur avance la thèse selon laquelle la relativité décrit la réalité en terme de relations et va jusqu’à supposer que la réalité s’épuise dans la relation. Cette position s’ancre dans le caractère éminemment mathématique de cette théorie. Selon Bachelard, « les conditions mathématiques indiquent l’être parce qu’elles sont elles-mêmes une partie de l’être, ou mieux encore on peut dire que l’être n’est fait que de leur coordination et de leur richesse » (p. 225). Il conclut son ouvrage avec une réflexion sur le rapport entre vérité et réalité en soulignant que « la doctrine relativiste apparaît comme vraie avant d’apparaître comme réelle » (p. 252). Cette réédition est précédée d’une préface dans laquelle l’ouvrage de Bachelard est introduit et commenté chapitre après chapitre. – Préface par Daniel Parrochia, pp. 7-60 ; Introduction de Gaston Bachelard : « La nouveauté des doctrines relativistes » ; chapitre I : « Les doctrines de la Relativité et l'approximation newtonienne » ; chap. II : « L'induction mathématique dans les doctrines de la Relativité » ; chap. III : « Le progrès de la relativation » ; chap. IV : « Le caractère formel des principes relativistes » ; chap. V : « Les garanties d'unité de la doctrine » ; chap. VI : « Simplicité et Raison suffisante » ; chap. VII : « Relativité et Réalité » ; chap. VIII : « La conquête de l'objectif » ; Index des auteurs cités, pp. 259-261 ; Table des matières, pp. 263-264. V. A.