Fondements des mathématiques

La théorie de Cantor sur les ensembles, qui semblait susceptible de devenir la théorie la plus générale à laquelle se rattacheraient toutes les branches des mathématiques, est devenue l’objet de vives polémiques lorsqu’on a découvert qu’elle débouchait sur des antinomies. Cette critique perdure aujourd’hui, alors même que le système de Cantor voit s’affirmer toujours davantage sa vocation de discipline fondamentale pour toutes les mathématiques. L’ouvrage interroge ce paradoxe. – Chap. I, «Les données du problèmes» : Les points névralgiques de la théorie des ensembles; Les paradoxes; Mise en accusation des définitions imprédicatives; – Chap. II, «Le logicisme de Russell» : Qu’est-ce que le logicisme ?; La théorie des types ramfiée; Antinomies logiques et antinomies sémantiques : aménagement proposé par Ramsey; – Chap. III, «L’intuitionnisme de Brouwer» : Les mathématiques comme constructions mentales; “Procédés illicites”; Une mathématique nouvelle; – Chap. IV, «Solution des antinomies dans le cadre d’une théorie des ensembles axiomatisée» : Remarques générales sur ce qu’est une théorie axiomatisée ; Définition des ensembles dans la théorie axiomatisée des ensembles; – Chap. V, «Le formalisme de Hilbert» : Intérêt d’une preuve de consistance; La métamathématique; Impossibilité d’une preuve de consistance pour les théories suffisamment riches; – Chap. VI, «Discussion» : Apologie de la tolérance; L’existence des objets mathématiques; Peut-on admettre les définitions imprédicatives ? M.-M. V.