Actes du Colloque éponyme, tenu à Paris (Institut Henri Poincaré) du 24 au 29 septembre 2001. Ces contributions s’inscrivent dans le prolongement de celles d’un précédent Colloque (Un Siècle de géométrie : 1830-1930. Paris: Institut Henri Poincaré, 1989) qui avait déjà réuni mathématiciens, physiciens, philosophes et historiens des sciences autour de l’histoire de la géométrie entre 1830 et 1930 (Luciano Boi, Dominique Flament, Jean-Michel Salanskis, Dir. 1830-1930 : A Century of Geometry, Epistemology, History and Mathematics. Berlin; New York : Springer, 1992. Series «Lecture Notes in Physics; 402». VIII-304 p.). – Si la période 1830-1930 a été celle de l’explosion de la géométrie en une multitude de géométries (géométrie projective, géométrie différentielle, géométrie algébrique, topologie ...), chacune se développant progressivement en un corps de doctrine, la période 1930-2000 consacre l’affirmation des géométries comme le secteur dominant des mathématiques. En effet, les parties les plus actives des mathématiques sont aujourd’hui toutes plus ou moins profondément géométrisées. Il en va de même des mathématiques utilisées par la physique théorique, par exemple avec les théories de jauge, le théorie du champ conforme ou la géométrie non-commutative. Les nouvelles géométries, apparues au XIXe siècle, ont ainsi connu pendant la période 1930-2000 des développements que les prémices du siècle précédent ne laissaient pas prévoir : on citera la topologie, la théorie des groupes de Lie, la géométrie différentielle, la géométrie algébrique et la géométrie des espaces analytiques. C’est donc à rendre compte des développements des géométries au XXe siècle, et aux liens de ces géométries avec la physique, que cet ouvrage s’attache principalement. Il entend contribuer ainsi à l’émergence de travaux historiques et philosophiques en offrant une large présentation réflexive des géométries du XXe siècle et de leurs fondements conceptuels. M.-M. V.

A Geometry of Approximation addresses Rough Set Theory, a field of interdisciplinary research first proposed by Zdzislaw Pawlak in 1982, and focuses mainly on its logic-algebraic interpretation. The theory is embedded in a broader perspective that includes logical and mathematical methodologies pertaining to the theory, as well as related epistemological issues. Any mathematical technique that is introduced in the book is preceded by logical and epistemological explanations. Intuitive justifications are also provided, insofar as possible, so that the general perspective is not lost. – Such an approach endows the present treatise with a unique character. Due to this uniqueness in the treatment of the subject, the book will be useful to researchers, graduate and pre-graduate students from various disciplines, such as computer science, mathematics and philosophy. It features an impressive number of examples supported by about 40 tables and 230 figures. The comprehensive index of concepts turns the book into a sort of encyclopædia for researchers from a number of fields. – A Geometry of Approximation links many areas of academic pursuit without losing track of its focal point, Rough Sets. – Table of contents : Preface. - Glossary of terms. - Introduction. - 1. A Mathematics of Perception. - 2. The Logico-algebraic Theory of Rough Sets. - 3. The Modal Logic of Rough Sets. - 4. A Relational Approach to Rough Sets. - 5. A Dialogical Approach. - Index. - Bibliography. M.-M. V.

Cet ouvrage traite de la transformation fondamentale survenue dans la pensée mathématique à la suite de la découverte de la géométrie non euclidienne. Cette transformation a eu comme conséquence celle d'admettre que, non seulement pouvaient exister plusieurs géométries, mais encore plusieurs espaces mathématiques et plusieurs espaces physiques différents. La recherche s'attache en grande partie à analyser les étapes qui ont conduit à cette nouvelle conception et aux idées mathématiques qui en sont le fondement. Le livre cherche également a en élucider la signification épistémologique et à mettre en évidence la nature et le rôle de l'espace dans la constitution de certaines théories mathématiques et dans la recherche des principes essentiels de la physique. – Sommaire : – Partie I. Géométrie non euclidienne, théorie des espaces courbes et nouveau regard sur l'espace (Chapitre 1, La découverte de la géométrie non euclidienne et la métamorphose des mathématiques : de l'univers unique aux mondes possibles; Chapitre 2, Géométrie intrinsèque des surfaces, courbure et géométrie non euclidienne; une nouvelle conception des êtres géométriques); – Partie II. Le concept de variété et la nouvelle géométrie de l'espace : la pensée mathématique de Riemann et ses développements (Chapitre 3, Continu, géométrie sur la variété, métrique et courbure, et conception de l'infiniment petit; Chapitre 4, Les rapports entre espace, continu et matière dans la pensée de Riemann; l'éther et l'unité des forces physiques fondamentales. L'émergence d'une nouvelle Naturphilosophie; Chapitre 5, Quelques développements mathématiques de la géométrie riemannienne et critiques philosophiques de ses conceptions et méthodes dans leur contexte historique); – Partie III. Géométrie infinitésimale intrinsèque, projective et non euclidienne dans les conceptions de Beltrami, Helmholtz et Clifford; modèles, fondements et espaces physiques (Chapitre 6, L'interprétation de la géométrie non euclidienne de Lobatchevsky-Bolyai sur la pseudosphère par Beltrami et la transformation des «mathématiques normales»; Chapitre 7, Concept de variété, fondements de la géométrie et conception physique de l'espace chez Helmholtz. La théorie des groupes de Lié et le problème mathématique de l'espace; Chapitre 8, Géométrie elliptique non euclidienne; métaphysique et mathématique de l'espace. La géométrisation de la physique dans la pensée de Clifford). M.-M. V.

1. Introduction; 2. Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes (Poincaré, 1905) : Géodésiques fermées des sphéroïdes; Le principe de continuité analytique; Une méthode variationnelle; 3. Les travaux de George D. Birkhoff : Existence d’une géodésique fermée sur (Sn, g); Réduction de l’étude du flot géodésique sur S2 à l’étude d’un difféomorphisme de l’anneau; 4. L’utilisation de la théorie de Morse; 5. Retour sur le cas de la sphère S2 : les travaux de Franks, Bangert, Hingston.

1. Introduction; 2. Le flot associé à la courbure de Ricci; 3. Les travaux de R. Hamilton : Principes du maximum sur les courbures; Étude des singularités : la technique du zoom; 4. Le flot avec chirurgie de G. Perelman : Les voisinages canoniques; Description du premier temps singulier; Le flot avec chirurgie; 5. La conjecture de Poincaré.

Cet article examine quelques-uns des premiers résultats de Poincaré, publiés dans les mémoires “Sur les courbes définies par une équation différentielle”, où des outils topologiques sont utilisés pour la première fois. Il analyse plus particulièrement l’invention par Poincaré de la fameuse méthode des sections, en interrogeant les enjeux de ce nouveau point de vue qualitatif et son influence sur la proposition d’une nouvelle définition de ce qu’est un problème dynamique. – 1, Des méthodes analytiques aux méthodes qualitatives; – 2, La méthode de section; – 3, La redéfinition du problème dynamique; – 4, Conclusion.

Présentation et étude de l’histoire de l’analogie sous-jacente à la définition de l’homologie introduite par Henri Poincaré (1854-1912) dans son mémoire Analysis Situs, publié en 1895. Avec le groupe fondamental, lui aussi défini dans ce mémoire, l’homologie est encore aujourd’hui une des notions les plus importantes de la topologie algébrique, alors appelée Analysis Situs, et dont l’objet est d’associer aux espaces des nombres (et plus tard des structures algébriques) qui soient invariants quand ces espaces sont transformés par des homéomorphismes, i.e. des applications continues et bijectives. L’article présente une des analogies sous-jacentes à la définition de l’homologie, puis cherche à en préciser le statut en examinant la conception que se fait Poincaré de l’Analysis Situs et de l’analogie en général. L’évolution de cette analogie est enfin abordée, au travers d’une reformulation qui permet d’en suivre les principales transformations sur une période s’étendant des travaux de Poincaré jusqu’au milieu des années 1930.

Dès les années vingt, Bertrand Russell est l’un de ceux qui ont mis en avant la nécessité de distinguer la structure topologique, la structure métrique et la structure causale de la variété espace-temps de la théorie de la relativité. Cet article entend montrer comment les thèses traditionnellement imputées à Russell, à savoir l’indépendance de la structure topologique par rapport à la structure métrique et la dérivation de l’intervalle d’espace-temps à partir de la seule structure causale, ont été articulées dans le contexte d’un programme de construction logique de la variété espace-temps à partir d’événements supposés dépourvus de structure spatio-temporelle. La contextualisation de ces thèses russelliennes permettra de mieux comprendre à la fois leur spécificité et leurs limites.

Cet article met en lumière la possibilité et l’utilité d’étudier les espaces abstraits aussi bien du point de vue métrique que du point de vue topologique. La notion de fonction permet de comprendre comment une transition naturelle peut faire passer de la notion de nombre à celle d’espace, ou plutôt des ensembles de nombres aux ensembles de points. M.-M. V.

Mathematicians have often pursued their researches in an erratic and intuitive way, rather than by the clear light of logic. Consequently, the historical development of the subject frequently differs considerably from the systematic approach which one finds in most textbooks. This book follows an historical approach, and gives a self-contained introduction to the subject of graph theory. – The central feature is a set of 37 extracts taken from the original writings of mathematicians who contributed to the foundations of graph theory. The book has ten chapters, each one dealing with a particular theme in graph theory, and containing three or four main extracts. – 1. Paths (The problem of the Königsberg bridges; Diagram-tracing puzzles; Mazes and labyrinths); – 2. Circuits (The knight's tour; Kirkman and polyhedra; The Icosian Game); – 3. Trees (The first studies of trees; Counting unrooted trees; Counting labelled trees); – 4. Chemical graphs (Graphic formulae in chemistry; Isomerism; Clifford, Sylvester, and the term “graph”; Enumeration, from Caylay to Polya); – 5. Euler's polyhedral formula (The history of polyhedra; Planar graphs and maps; Generalizations of Euler's formula); – 6. The four-colour problem. Early history (The origin of the four-colour problem; The “proof”; Heawood and the five-colour theorem); – 7. Colouring maps on surfaces (The chromatic number of a surface; Neighbouring regions; One-sided surfaces); – 8. Ideas from algebra and topology (The algebra of circuits; Planar graphs; Planarity and Whitney duality); – 9. The four-colour problem : to 1936 (The first attempts to reformulate the problem; Reducibility; Birkhoff, Whitney, and chromatic polynomials); – 10. The factorization of graphs (Regular graphs and their factors; Petersen's theorem on trivalent graphs; An alternative view : correspondences). – Appendix 1 : Graph theory since 1936; – Appendix 2 : Biographical notes; – Appendix 3 : Bibliography. 1736-1936.

Topological Groups and Related Structures provides an extensive overview of techniques and results in the topological theory of topological groups. This overview goes sufficiently deep and is detailed enough to become a useful tool for both researchers and students. This book presents a large amount of material, both classic and recent (on occasion, unpublished) about the relations of Algebra and Topology. It therefore belongs to the area called Topological Algebra. More specifically, the objects of the study are subtle and sometimes unexpected phenomena that occur when the continuity meets and properly feeds an algebraic operation. Such a combination gives rise to many classic structures, including topological groups and semigroups, paratopological groups, etc. Special emphasis is given to tracing the influence of compactness and its generalizations on the properties of an algebraic operation, causing on occasion the automatic continuity of the operation. The main scope of the book, however, is outside of the locally compact structures, thus distinguishing the monograph from a series of more traditional textbooks. The book is unique in that it presents very important material, dispersed in hundreds of research articles, not covered by any monograph in existence. The reader is gently introduced to an amazing world at the interface of Algebra, Topology, and Set Theory. He/she will find that the way to the frontier of the knowledge is quite short — almost every section of the book contains several intriguing open problems whose solutions can contribute significantly to the area. – Contents : – Introduction to Topological Groups and Semigroups; – Right Topological and Semitopological Groups; – Topological Groups: Basic Constructions; – Some Special Classes of Topological Groups; – Cardinal Invariants of Topological Groups; – Moscow Topological Groups and Completions of Groups; – Free Topological Groups; – Factorizable Topological Groups; – Compactness and its Generalizations in Topological Groups; – Actions of Topological Groups on Topological Spaces.

[Réimpression sans changements de l'édition originale. Paris : Gauthier-Villars, 1928. «Collection de monographies sur la théorie des fonctions», publiée sous la direction de M. Émile Borel]. – Cet ouvrage entend remédier à l'absence quasi totale en France de publications consacrées à l'Analyse générale, dont l'auteur choisit ici de marquer les lignes directrices, plutôt que d'en faire un exposé détaillé. Méthodologiquement, et pour tenir compte du lecteur peu familiarisé avec la théorie des variables abstraites, le volume ne suit pas un ordre purement logique : à la mise en présence d'une multiplicité d'idées nouvelles d'inégale importance, est préférée l'option de sérier les difficultés. Maurice Fréchet s'attache d'abord à introduire et à appliquer celles de ces idées nouvelles qui sont les plus fécondes et se présentent le plus naturellement. Au premier rang se place la conception des espaces où la limite peut être définie au moyen d'une distance, c'est-à-dire des «espaces (ↀ)». C'est donc sur cette généralisation des espaces à n dimensions que l'ouvrage insiste d'abord. Mais, précisément pour montrer que cette notion permet d'aborder des espaces qui sont plus complexes que les espaces à un nombre fini de dimensions, on est amené à introduire et à généraliser dès le début la notion de nombre de dimensions. C'est donc l'application de ces deux idées nouvelles – «Généralisation de la notion de nombre de dimensions. Généralisation de la notion de distance» – qui occupe la Première Partie de l'ouvrage. – Familiarisé par ce moyen avec le maniement des ensembles d'éléments de nature quelconque, le lecteur abordera ensuite plus facilement l'étude d'espaces abstraits plus généraux (la portée philosophique de la Théorie des ensembles abstraits), dans la Seconde Partie («Généralisation des notions de voisinage et de convergence») : elle permet de pénétrer plus intimement la nature des notions de distance, de limite et de voisinage.

Foundational issues in statistical mechanics and the more general question of how probability is to be understood in the context of physical theories are both areas that have been neglected by philosophers of physics. This book fills an important gap in the literature by providing a most systematic study of how to interpret probabilistic assertions in the context of statistical mechanics. The book explores both subjectivist and objectivist accounts of probability, and takes full measure of work in the foundations of probability theory, in statistical mechanics, and in mathematical theory. It will be of particular interest to philosophers of science, physicists and mathematicians interested in foundational issues, and also to historians of science. – Contents : Introduction. – Chapter 1. The Neo-Laplacian approach to statistical mechanics; – Chapter 2. Subjectivism and the Ergodic approach; – Chapter 3. The Haar measure; – Chapter 4. Measure and topology in statistical mechanics; – Chapter 5. Three solutions. – Appendix I: Mathematical preliminaries; – Appendix II: On the foundations of probability; – Appendix III: Probability in non-equilibrium statistical mechanics. – Author index; – Subject index. – Includes bibliographical references.

Cet article présente les différents cadres géométriques qui ont été développés pour résoudre certains problèmes du modèle standard du big bang : 1° les géométries décrivant des univers dynamiques (métriques de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, métriques anisotropes de Bianchi, métriques inhomogènes de Lemaître-Tolman-Bondi) ; 2° les géométries décrivant des univers statiques (géométrie de Weyl, modèle de Ellis) ; 3° les théories de la topologie cosmique.

F. F.

Passer d'une pensée des objets géométriques naturels présents dans l'espace à une pensée de l'espace, c'est-à-dire à la détermination de la spatialité comme objet d'une articulation de concepts, telle est la visée de cet ouvrage. Il s'agit pour l'auteur d'opérer l'analyse complète de l'idée de spatialité et la présentation de son unité architectonique grâce à l'étude des oeuvres mathématiques qui en mobilisent les catégories constituantes. Débarrassant le concept de spatialité de sa gangue psychophysiologique, physique et phénoménologique, il permet d'en révéler la teneur fondamentalement mathématique. À travers une réflexion épistémologique et historique sur l'étude mathématique de l'espace, l'auteur procède à la genèse des catégories de la spatialité – Forme, Texture, Repérage, Mesure – constituantes de tout objet géométrique naturel. Il nous est montré comment du développement de la géométrie projective jusqu'à l'avènement d'une combinatoire algébrique, le concept de Forme devient un objet spatial qui peut être pensé abstraitement à travers des groupes de transformation et une topologie algébrique (Première partie), comment l'avènement de la topologie ensembliste rend possible une description de la Texture spatiale (Deuxième partie). Enfin, à travers la présentation des concepts d'espace vectoriel, de dimension et de variété, l'auteur montre comment se constituent la Mesure et le Repérage de la spatialité (Troisième partie). – Bibliographie, pp. 227-230 ; Index, pp. 233-236 ; Table des matières, pp. 237-238.

F. F.

En commentant certains résultats des sciences physiques ou mathématiques, plus particulièrement de la seconde moitié du XXe siècle, l'auteur cherche à comprendre l’importance philosophique du concept de diagramme, qui est au cœur de la théorie mathématique des catégories, des topoi et des esquisses. Partant du constat que les diagrammes et catégories contraignent à des options ontologiques, l'auteur propose pour étudier leur disposition conjointe de suivre quatre concepts fondamentaux qui forment le quadrilatère épistémique (la virtualité, la fonctorialité, l’universalité et la dualité). Le virtuel est nécessaire parce qu’une table n’existe pas de la même manière que le bleu du ciel qui n’a pas de réalité matérielle. La fonctorialité et le lemme de Yoneda imposent de reconsidérer le statut de l’objet. Le théorème de Diaconescu illustre l’idée que la logique immanente d’un lieu est déterminée par le topologique, que la logique n’a pas l’importance qu’on lui accorde parfois. L’universalité et la dualité déplacent la notion de vérité qui n’est plus une simple valuation, mais une vérité-foudre, une vérité-événement qui fonctionne par adéquation et résonance de pans entiers de connaissance et non plus par inférence logique. Le diagramme devient le lieu de cette vérité qui passe par le geste. Dès lors, il devient possible de croiser ontologie et topologie en une onto-(po)-logie (ou une ontologie toposique) qui ne soit pas en contradiction avec les philosophies de l’immanence. L’univocité de l’Être ne s’oppose pas à l’approche catégorielle. Plus encore : la prégnance des formes duales incite à penser l’hypothèse que l’Un est le dual de l’Être. – Bibliographie, pp. 189-200 ; Index, pp. 201-204 ; Table des figures, pp. 205-206 ; Table des matières, pp. 207-208. Fr. J.

Some results of mathematics or physical sciences, more particularly from the second half of the XXe century, lead to a new approach of the philosophical concept of diagram, which is the heart of the mathematical theory of categories, topos and sketches. On the basis of the report that diagrams and categories force with ontological options, their relationship is studied by following four fundamental concepts which form the epistemic square (virtuality, fonctoriality, universality and duality). Virtuality is necessary because a table does not exist in the same manner as the blue of the sky which does not have material reality. The fonctoriality and Yoneda's lemma involve to reconsider the statute of object. Diaconescu's theorem shows the idea that the internal logic of a topos is determined by its topology, and sometimes logical investigations are more important than it should be. Universality and duality move the concept of truth. The truth is not a simple valuation, but a “truth-lightning”, a “truth-event” which works by adequacy and topological resonance of large sides of knowledge, not any more by logical inference. Diagrams are the place of this truth which goes through gesture. Consequently, it becomes possible to cross ontology and topology in an onto-(po)-logy (or a toposic ontology) which is not in contraction with French theory. Univocity of the concept of being is not opposed to the categorial approach. More: dual forms encourages to think the assumption that the concept of one is the dual of the concept of being. – Bibliography, 189-200 ; Index, 201-204 ; Table of figures, 205-206 ; Table of contents, 207-208. Fr. J.

Philosophers have studied geometry since ancient times. Geometrical knowledge has often played the role of a laboratory for the philosopher's conceptual experiments dedicated to the ideation of powerful theories of knowledge. Lorenzo Magnani's new book Philosophy and Geometry illustrates the rich intrigue of this fascinating story of human knowledge, providing a new analysis of the ideas of many scholars (including Plato, Proclus, Kant, and Poincaré), and discussing conventionalist and neopositivist perspectives and the problem of the origins of geometry. The book also ties together the concerns of philosophers of science and cognitive scientists, showing, for example, the connections between geometrical reasoning and cognition as well as the results of recent logical and computational models of geometrical reasoning. All the topics are dealt with using a novel combination of both historical and contemporary perspectives. Philosophy and Geometry is a valuable contribution to the renaissance of research in the field. – Table of contents : 1. At the Origins of Geometrical Knowledge. 2. Geometry: the Model of Knowledge. 3. Constructions, Logic, Categories. 4. The alpha&ngr;taualphasigma&igr;alpha in Ancient Geometrical Knowledge. 5. Geometry and Convention. 6. Geometry, Problem Solving, Abduction. 7. Geometry and Cognition. – References. Author Index. Subject Index.