Les Espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'analyse générale

[Réimpression sans changements de l'édition originale. Paris : Gauthier-Villars, 1928. «Collection de monographies sur la théorie des fonctions», publiée sous la direction de M. Émile Borel]. – Cet ouvrage entend remédier à l'absence quasi totale en France de publications consacrées à l'Analyse générale, dont l'auteur choisit ici de marquer les lignes directrices, plutôt que d'en faire un exposé détaillé. Méthodologiquement, et pour tenir compte du lecteur peu familiarisé avec la théorie des variables abstraites, le volume ne suit pas un ordre purement logique : à la mise en présence d'une multiplicité d'idées nouvelles d'inégale importance, est préférée l'option de sérier les difficultés. Maurice Fréchet s'attache d'abord à introduire et à appliquer celles de ces idées nouvelles qui sont les plus fécondes et se présentent le plus naturellement. Au premier rang se place la conception des espaces où la limite peut être définie au moyen d'une distance, c'est-à-dire des «espaces (ↀ)». C'est donc sur cette généralisation des espaces à n dimensions que l'ouvrage insiste d'abord. Mais, précisément pour montrer que cette notion permet d'aborder des espaces qui sont plus complexes que les espaces à un nombre fini de dimensions, on est amené à introduire et à généraliser dès le début la notion de nombre de dimensions. C'est donc l'application de ces deux idées nouvelles – «Généralisation de la notion de nombre de dimensions. Généralisation de la notion de distance» – qui occupe la Première Partie de l'ouvrage. – Familiarisé par ce moyen avec le maniement des ensembles d'éléments de nature quelconque, le lecteur abordera ensuite plus facilement l'étude d'espaces abstraits plus généraux (la portée philosophique de la Théorie des ensembles abstraits), dans la Seconde Partie («Généralisation des notions de voisinage et de convergence») : elle permet de pénétrer plus intimement la nature des notions de distance, de limite et de voisinage.