La rivoluzione delle geometrie non euclidee, nel secolo XIX, dagli Autori del volume è considerata in una dimensione storica e nelle sue implicazioni relativamente alla matematica, alla filosofia e alle teorie fisiche. La trattazione riguarda la geometria euclidea, la non contraddittorietà e gli sviluppi tecnici della geometria non euclidea iperbolica e della geometria ellittica (e sferica) e, in fondo, il problema della natura della verità delle teorie geometriche. Prefazione. – Introduzione. – I. Storia delle teorie delle rette parallele. – II. La sistemazione Hilbertiana della geometria. – III. La geometria iperbolica. – IV. Il modello di Poincaré. – V. La geometria sferica e ellittica. – Considerazioni conclusive. M. F.

Considérée comme le socle même de la méthode mathématique depuis l’Antiquité grecque, la notion de démonstration s’est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence de raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l’un et l’autre jouent des rôles complémentaires. Cette véritable révolution amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d’une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, tels ceux de jugement analytique et de jugement synthétique. Elle conduit aussi à une interrogation sur les liens entre les mathématiques et l’informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l’unique science à ne pas utiliser d’instruments. Enfin, et c’est certainement le plus prometteur, cette révolution laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s’affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposées à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d’espaces jusqu’alors inaccessibles. – Partie I, Une origine ancienne : 1, De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques; 2, Deux mille ans de calcul; – Partie II, L’âge classique : 3, La logique des prédicats; 4, Du problème de la décision au théorème de Church; 5, La thèse de Church; 6, Une tentative de donner sa place au calcul en mathématiques : le lambda-calcul; 7, La constructivité; 8, Les démonstrations constructives et les algorithmes; – Partie III, La crise de la méthode axiomatique : 9, La théorie intuitionniste des types; 10, La démonstration automatique; 11, La vérification des démonstrations; 12, Des nouvelles du terrain; 13, Les instruments: 14, En finir avec les axiomes ? M.-M. V.

Ce dialogue confronte deux conceptions qui dominent jusqu’à nos jours la philosophie des mathématiques : d’un côté la conception kantienne qui souligne l’irréductible apport de l’intuition dans la formulation des axiomes, ainsi que l’effectivité des procédés de construction; de l’autre côté la conception bolzanienne qui s’efforce d’éliminer toute intervention de l’intuition au profit des démonstrations et des procédés purement conceptuels.

L’article se propose d’explorer ce qui, dans la démarche axiomatique de la mathématique contemporaine, excède la dimension logique. À cette fin, on commence par décrire, notamment en faisant appel au point de vue de la correspondance de Curry-Howard, l’extrémalité de l’axiome, sa principale propriété dans une perspective logique. Ensuite on évoque les modalités de l’axiomatisation dans la mathématique actuelle, en distinguant entre une axiomatique conceptuelle, non fondationnelle, liée au programme de classification, et l’axiomatique pure, instituante, par laquelle l’univers des ensembles, par exemple, est supposé donné. Enfin, on analyse philosophiquement ce style instituant, en montrant qu’il est lié pour le mathématicien à une intuition, et qu’il n’est pas absurde de reconnaître dans ce type d’intuition (une variante de) ce que Kant appelait intuition pure dans la Critique de la Raison pure. M.-M. V.

Cet article a pour objet le passage des théories de la rationalité substantive à la rationalité procédurale. C’est H.A. Simon qui diagnostique, à partir de 1973, une différence de conception quant à la nature même de la rationalité : non seulement sur ce qu’elle est, mais surtout sur ce qu’elle fait, et plus encore sur ce qu’elle peut faire. Un tel passage implique un changement fondamental en matière de «style scientifique», le passage d’un raisonnement privilégiant la déduction à partir d’un strict système d’axiomes, à un raisonnement privilégiant l’exploration empirique des procédures complexes de la pensée. – I. Le paradigme de la rationalité limitée ou De l’ordre rationnel à la stratégie rationnelle; – II. De la Logique à la Méthode, ou Du bon usage de la raison selon Aristote et selon Descartes; – Des «principes pour une science nouvelle».

L’article explore les raisons pour lesquelles Łukasiewicz dans son exposé refuse de prendre en compte le dictum de omni et de nullo en qualité d’axiome de la syllogistique aristotélicienne. Après avoir établi la faiblesse de l’argumentation textuelle de Łukasiewicz, il est montré que les réserves de Łukasiewicz à l’égard du dictum doivent être recherchées dans un anti-essentialisme qui lui interdit de suivre Aristote jusqu’au bout de sa logique. (Auteur)

This paper explores the reasons why Łukasiewicz in his explanation of Aristotelian syllogistic does not accept the dictum de omni et de nullo as an axiom. After having established the fragility of the textual argumentation of Łukasiewicz, it is shown that his reasons for being reserved about the dictum must be found in a anti-essentialism which forbids Łukasiewicz to follow Aristotle all the way to the ontological foundation of his logic.

L’Autore intende illustrare aspetti fondamentali del rapporto tra filosofia e sapere geometrico. Filo conduttore del percorso del volume è il punto di vista kantiano che nella seconda metà dell’Ottocento costituisce, in seguito alla nascita delle geometrie non euclidee, il punto di partenza della riflessione filosofica sui fondamenti delle matematiche. «La geometria si mostra così come il paradigma di una filosofia, di una teoria della conoscenza». Questo volume consente una rilettura del convenzionalismo di Poincaré (storiograficamente impostosi nei termini di una reazione all’apriorismo kantiano) di cui è evidenziato il concetto di gruppo concepito come un a priori della mente e quindi lo stretto legame con il kantismo. Inoltre è stabilito un confronto fra la critica neoempirista svolta da Hans Reichenbach in Relativitätstheorie und Erkenntnis Apriori (1920) e il convenzionalismo generalizzato. – Premessa; I. Alle origini della conoscenza geometrica; II. Kant: la geometria, modello della conoscenza; III. Geometria, spazio, costruzione e logica; IV. Categorie, assiomi dell’intuizione, geometria; V. Il sapere geometrico degli antichi e la ϕαντασια di Proco; VI. Geometria e convenzione : Poincaré. – Bibliografia; Indice dei nomi. M. F.

Ce chapitre a pour objet la notion de programme de recherche en sciences sociales. Il examine les divers paramètres impliqués dans la mise en oeuvre d'un programme de recherche scientifique (axiomes, théories, schèmes, pôles, points de vue ontologiques et épistémologiques) ; ainsi que les divers rapports qu'ils peuvent entretenir. – Bibliographie, pp. 518-519.

F. F.