Gödel

Cette seconde édition (corrigée et améliorée par rapport à la première datée de 2004) constitue une excellente introduction à l’œuvre logico-mathématique et aux réflexions épistémologiques de Kurt Gödel, auxquelles le développement de la pensée mathématique de la première moitié du XXe siècle est inséparable. Dans un premier temps, Pierre Cassou-Noguès montre comment la pensée mathématique qui s’est développée au XIXe siècle – et dont le couronnement fut incarné par la théorie des ensembles de Cantor – a engendré plusieurs paradoxes (ceux de Burali-Forti, Russell et Richard) qui induisirent la crise des fondements en mathématique (chapitre 1). Le chapitre 2 a pour fonction de replacer les travaux de Gödel dans ce contexte. La suite de l’ouvrage est consacrée à l’exposition détaillée et à l’explicitation analytique des résultats obtenus par Gödel au cours de ses recherches logiques, mathématiques et épistémologiques : les deux théorèmes de 1931 sur l’incomplétude de l’arithmétique élémentaire (chapitre 3) ; sa définition de la calculabilité et ses conséquences sur sa représentation de l’esprit humain (chapitre 4) ; son établissement de la consistance de l’hypothèse du continu sur la base des axiomes de la théorie des ensembles (chapitre 5) ; et enfin, ses traductions de l’arithmétique classique dans trois systèmes différents, dans le cadre de sa recherche sur le fondement de l’arithmétique menée entre 1933 et 1958 (chapitre 6). L’ouvrage se termine sur un chantier ouvert par Gödel, qui d’une certaine manière, sera mis en œuvre par les premiers « catégoriciens » (i.e. les inventeurs et les utilisateurs de la théorie mathématique des catégories) : celui consistant à thématiser les opérations finitistes de l’activité mathématicienne, afin de découvrir de nouveaux objets et de constituer de nouveaux concepts. – Repères chronologiques, pp. 9-10 ; Introduction, pp. 11-16 ; Notices des principales figures évoquées, p. 175-183 ; Bibliographie, p. 185-187 ; Table des matières, p. 189-190.

F. F.