« Philosophie des mathématiques »

L'objet de cet article est de proposer une introduction à la philosophie des mathématiques à travers l'articulation du problème ontologique et du problème épistémologique : quels sont les objets des mathématiques ? Ont-ils une existence indépendante ou sont-ils des constructions de l'esprit humain ? Comment et à quelles conditions leur connaissance est-elle dès lors possible ? La première partie traite du problème du rôle de l'expérience et de l'intuition dans la connaissance mathématique : elle présente les positions rationaliste (Leibniz), empiriste (Mill) et critique (Kant) relatives au problème, ensuite la réfutation de la position kantienne par Frege, puis les limites de la position frégéenne, révélées par le paradoxe de Russell, dont la formulation a conduit à la crise des fondements des mathématiques au début du XXe siècle. La seconde partie présente deux programmes antiréalistes : le finitisme (Hilbert) et l'intuitionnisme (Brouwer et Heyting). La troisième partie présente deux formes de réalismes mathématiques : le réalisme sémantique, « qui correspond à la thèse selon laquelle la vérité ou la fausseté des énoncés mathématiques est un fait objectif qui ne dépend pas de nous » (p. 320) et le réalisme ontologique, « qui correspond à la thèse selon laquelle il existe des objets mathématiques indépendants de nous. » (p. 320) La quatrième partie présente deux formes de réalismes ontologiques : le platonisme faible (Quine) et le platonisme fort (Frege et Gödel). La cinquième rend compte de la principale objection formulée à l'égard du platonisme en général (qu'il soit faible ou fort), plus connue sous le nom de « dilemme de Benacerraf ». Enfin la sixième et dernière partie aborde « la voie moyenne » empruntée par Maddy, « qui promeut une version naturaliste du platonisme fort » (p. 340), puis la possibilité d'une généralisation de la stratégie de Maddy « en élargissant le programme de naturalisation de l'intuition mathématique hors de la théorie des ensembles. » (p. 342) : ce que le structuralisme mathématique semble pouvoir fonder, puisqu'il permet de penser l'identité structurelle entre des propriétés mathématiques et des systèmes d'objets physiques dont l'organisation est perceptible dans l'intuition sensible.

F. F.