Les Métamorphoses du calcul. Une étonnante histoire des mathématiques

Considérée comme le socle même de la méthode mathématique depuis l’Antiquité grecque, la notion de démonstration s’est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence de raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l’un et l’autre jouent des rôles complémentaires. Cette véritable révolution amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d’une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, tels ceux de jugement analytique et de jugement synthétique. Elle conduit aussi à une interrogation sur les liens entre les mathématiques et l’informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l’unique science à ne pas utiliser d’instruments. Enfin, et c’est certainement le plus prometteur, cette révolution laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s’affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposées à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d’espaces jusqu’alors inaccessibles. – Partie I, Une origine ancienne : 1, De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques; 2, Deux mille ans de calcul; – Partie II, L’âge classique : 3, La logique des prédicats; 4, Du problème de la décision au théorème de Church; 5, La thèse de Church; 6, Une tentative de donner sa place au calcul en mathématiques : le lambda-calcul; 7, La constructivité; 8, Les démonstrations constructives et les algorithmes; – Partie III, La crise de la méthode axiomatique : 9, La théorie intuitionniste des types; 10, La démonstration automatique; 11, La vérification des démonstrations; 12, Des nouvelles du terrain; 13, Les instruments: 14, En finir avec les axiomes ? M.-M. V.