La Géométrie algébrique. Recherches historiques

L’origine de la géométrie algébrique comme discipline mathématique est relativement récente : elle peut être située dans le dernier tiers du 19e siècle, au moment où est abordée la théorie générale des surfaces algébriques. Il faut cependant noter que la naissance de la géométrie algébrique a été précédée d’une longue maturation, avec des recherches dans différents secteurs mathématiques a priori sans liens entre eux : problèmes solides, équations algébriques, courbes algébriques, géométrie projective, calcul intégral, analyse diophantienne. Ces recherches ont convergé progressivement au cours des siècles et l’on ne peut donc pas faire l’économie d’études rétrospectives sur la protohistoire de la géométrie algébrique si l’on veut comprendre son histoire proprement dite. Tel est l’objet du présent ouvrage : proposer une histoire des mathématiques sur la longue durée plutôt que des investigations restreintes aux mathématiques récentes, qui risqueraient de se contenter d’une recherche sur la généalogie de nos mathématiques contemporaines. – L’ouvrage est un recueil d’études pour la plupart déjà publiées, complétées par certains chapitres originaux : – le Chap. I. est un survol de l’histoire des équations algébriques; – le Chap. II étudie le traité Des équations de Sharaf al-Din al-Tusi, consacré à la résolution des équations cubiques par intersection de deux coniques ainsi qu’à la résolution numérique de ces équations (repris d’un article de la revue Arabic sciences and philosophy, vol. 5, n° 2, 1995, pp. 239-262); – le Chap. III expose de travail de d’Alembert sur le théorème fondamental de l’algèbre (Jean d’Alembert savant et philosophe, colloque organisé par le Centre international de synthèse-Fondation pour la science, Paris, 15-18 juin 1983. Paris, Ed. des Archives contemporaines, 1989, pp. 352-360); – le Chap. IV explique les travaux du 18e siècle sur la résolution algébrique des équations (Sciences à l’époque de la Révolution française. Paris, A. Blanchard, 1988, pp. 17-37); – le Chap. V prolonge le même thème jusqu’aux travaux d’É. Gallois (Journées X-UPS, vol. 4, 1987, pp. 55-66); – le Chap. VI, inédit, est consacré à la résolution numérique des équations, principalement à partir du travail de P. Ruffini sur ce sujet; – le Chap. VII, inédit, explique les méthodes de résolution de l’équation générale de degré 5 à l’aide des fonctions elliptiques (Hermite, Kronecker, Brioschi); – Chap. VIII sur les fonctions elliptiques et les intégrales abéliennes (Abrégé d’histoire des mathématiques. Paris, Hermann, 1978, vol. 2, pp. 1-113); – le Chap. IX développe un point du chap. précédent : le passage d’une variable complexe à plusieurs variables complexes dans l’étude du problème d’inversion de Jacobi pour les intégrales abéliennes et la théorie des fonctions abéliennes qui s’est développée à partir de là (Géométrie complexe. François Norguet, Salomon Ofman, Jean-Jacques Szczeciniarz, Dir. Paris, Hermann, 1996, pp. 271-281); – le Chap. X traite des travaux de Picard sur les fonctions algébriques de deux variables complexes et sur les surfaces algébriques (Cahiers d’histoire et de philosophie des sciences, n° 34, 1991 : La France mathématique, pp. 243-276); – le Chap. XI, inédit, complète le précédent en exposant les travaux de G. Humbert sur les surfaces hyperelliptiques; – le Chap. XII, inédit, explique comment l’analogie entre les nombres et les fonctions a permis d’élaborer successivement le calcul sur les polynômes, la théorie des séries entières et la théorie des fonctions algébriques d’une variable; – le Chap. XIII aborde les débuts de la géométrie algébrique abstraite en expliquant l’histoire des recherches qui ont amené A. Weil à formuler ses célèbres conjectures en 1949 (The Development of mathematics from 1900 to 1950. Bâle, 1994, pp. 385-413); – le Chap. XIV est consacré à l’histoire de la théorie des faisceaux (Matériaux pour l’histoire des mathématiques au vingtième siècle. Société mathématique de France, Séminaires et Congrès 3, 1998, pp. 101-119); – le Chap. XV est consacré aux mathématiques entre 1968 et 1978 (La Recherche, 1979). M.-M. V.