Mathématiques et existence

Fil conducteur de cette étude, le projet d'une mathématique de l'existence ne va pas de soi. Généralement conçu plutôt comme une utopie qu'une réalité, il convient dans un :premier temps de rappeler les objections qui lui sont ordinairement opposées. Daniel Parrochia en distingue trois, particulièrement significatives : – 1. contestation par le sens commun d'un projet aliénant qui, lorsqu'il n'est pas réduit à un “jeu”, risque d'évoluer entre l'imposture et la pathologie ; – 2. défense par la littérature de son propre traitement de la vie quotidienne au sein du langage, contre les danger de la formule qui écrase les nuances, réduit la richesse expressive des langues, appauvrit la réalité ; – 3. mise en cause par l'épistémologie et la philosophie (principalement hégélienne) de la possibilité d'une “mathématique philosophique”, dont le caractère est jugé inadéquat (une science fondée sur l'exercice de l'entendement, non sur celui de la Raison) et fondamentalement “extérieur” à l'être. Dès lors, comment les mathématiques, dont le destin est de s'appliquer, peuvent-elles s'appliquer avec succès en philosophie et dans les sciences humaines ? Contre les discours réduisant les mathématiques à un simple moyen de sélection et de contrôle, ou à un simple langage au service de l'interrogation de la nature, l'ouvrage ouvre de nouvelles pistes où les mathématiques expriment leur véritable puissance : leur pouvoir d'exprimer la cohérence du monde, grâce à des modèles qui résument les situations et en révèlent l'essence. – L'ouvrage s'organise en trois parties, dont la première (« Philosophie et mathématiques de l'ordre ») développe l'idée que la métaphysique, analyse qualitative de l'être, a toujours été une sorte de topologie appliquée. L'auteur s'attache à montrer comment la mathématique moderne, dans ses aspects non numériques, a créé des modèles susceptibles de réinterpréter une part non négligeable du projet philosophique initial, tel qu'il s'est exprimé dans la philosophie expressionniste. C'est sur l'idée d'une science générale des situations que débouche l'entreprise résumante et classifiante du philosophe systématique, entreprise qui rejoint, à certains égards, celle du scientifique. La topologie en serait la forme la plus achevée, cette science devenant, avec René Thom, un outil à la fois mathématique et métaphysique d'exploration de la réalité (1. Du quantitatif au qualitatif ; 2. L'expressionnisme et ses modèles mathématiques ; 3. Topologies de l'être et science des situations ; 4. Métaphysique et promenades aléatoires). – Mais cette entreprise classificatrice qu'est la topologie se trouve entravée par des difficultés empiriques dans les sciences, et des limitations d'un caractère encore plus fondamental, à savoir des limitations de principes. La deuxième partie de cet essai (« La difficulté de classer ») est consacrée à l'examen de ces limitations, et interroge dans certains de ses fondements le rationalisme rigide de la systématicité traditionnelle. Que les sciences en général ne puissent se passer d'une étape classificatoire dans leur développement ne suffit pas, en effet, à prouver philosophiquement la légitimité absolue de l'entreprise taxinomique, et moins encore l'extension et la diffusion de la forme hiérarchique dans l'ensemble de la culture (1. Le monde arlequin ; 2. Le demi-échec des logiques du monde sensible ; 3. L'empirisme logique et la difficulté de classer ; 4. Métaclassification et complexité ; 5. Problèmes des taxinomies empiriques). – À la question de savoir s'il existe une classification naturelle des ordinaux récursifs, question taxinomique par excellence, il est impossible de répondre en général. Cette impossibilité met en pleine lumière le problème de la complexité logique et conduit à adopter une attitude pragmatique, solidaire du fait que l'univers, dans son ensemble, ne se laisse pas absolument réduire. Les conséquences de cette situation concernant l'existence seront analysées dans la troisième partie (« Mathématiques et existence »). Le terme même d'existence y est envisagé sous ses trois acceptions, – la non-appartenance ; – la non-coïncidence ou l'empiètement ; – la discontinuité, ou l'altérité radicale (hétérogénéité et fragmentation de la vie). Afin de représenter et de traduire les discontinuités et les désordres solidaires de l'existence, le projet est ici (à la différence des logiques du monde sensible qui s'étaient efforcées de constituer des classes à partir des vécus) de partir non des contenus vécus mais de la forme de leur distribution, c'est-à-dire de la discontinuité et des empiètements événementiels (1. Le projet mathématique et l'existence ; 2. Finitude et empiétements ; 3. La vie précaire ; 4. Le graphe de tous les chemins). M.-M. V.