Logique mathématique

Par son plan, l’ouvrage se présente comme un manuel. Après avoir posé les « notions de base » (ensembles, entiers, suites, fonctions), le texte comporte deux parties, d’ailleurs inégales. La Première, « Les matériels fondamentaux », met en place le calcul propositionnel qui permet l’analyse des propositions et la définition des concepts de « langages » (termes, formules) et de « structures ». La seconde, « Étude de la déduction », présente d’abord la « théorie de la déduction » à partir notamment de la « propriété de compatibilité sémantique », précisée ensuite par celle de « complétude » et son application à la théorie des « modèles » ; la « théorie de la définition » donne lieu à un chapitre à part, qui se prolonge dans la théorie de l'« élimination des quantificateurs » ; cette partie se termine avec les « théorèmes de limitation » (Godel 1 et 2). Le « Verdict » est impressionnant : « Nous aboutissons à un triple constat d’échec. On ne peut pas formaliser les mathé­matiques de manière : — compatible et complète, — compatible et décidable, — compatible et justifiable par des moyens finitistes ». D’un autre côté, l’auteur maintient un bel optimisme : déjà il avait montré que le ZF (le système axiomatique de la théorie des ensembles fondé sur la théorie de Zermelo-Frankel) n’assure la survie du « paradis cantorien » que par sa fécondité pratique ; pour finir, il affirme que « les théories se jugent à leurs fruits plutôt qu’à leur cohérence », et que « c’est une belle victoire d’avoir démêlé le fil de cet écheveau ». — L’ouvrage comprend en outre trois Appendices insérés dans le cours de l’analyse, sur « Une théorie des ensembles » (le ZF), sur les géométries (comme applications de la relation d’alignement), et sur les « relations et fonctions récursives ». Les démonstrations sont réduites au profit d’exemples et d’exercices, et également de commentaires explicatifs qui sont peut-être la véritable originalité de ce volume : un « Lexique » permet de tirer toutes les ressources qu’offre l'ouvrage sous ce rapport. — La Préface de Marcel Guillaume est un ensemble indépendant de considé­rations sur le problème épistémologique posé par l’existence et l’évolution récente de la logique mathématique : elle n’a qu’un rapport indirect à l’ouvrage et contraste avec lui par son extrême abstraction. M.-M. V.