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MONOGRAPHIE

La possibilité des nombres

  • Pages : IX-340
  • Collection : Science, Histoire et Société
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  • Support : Document imprimé
  • Edition : Originale
  • Ville : Paris
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  • ISBN : 978-2-13-063167-5
  • URL : Lien externe
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  • Date de création : 08-12-2014
  • Dernière mise à jour : 18-03-2019

Résumé :

Français

Cet ouvrage est une introduction historique, philosophique et épistémologique à la pensée arithmétique. Dans un premier chapitre l’auteur revient sur les origines de la pensée arithmétique en Occident, et présente les grandes figures de cette pensée : Thalès (coémergence de la formalisation démonstrative et de la réflexion arithmétique), les Pythagoriciens (mystique du nombre ou arithmologie), l’enrichissement présocratique de la pensée pythagoricienne (Héraclite et Parménide) et les premières métaphysiques systématiques érigées pour proposer des réponses (théorie des Idées de Platon et méréologie d’Aristote) aux problèmes posés par les premiers penseurs du nombre (chapitre 2). Dès lors, c’est au problème de la participation que nous introduit l’auteur (chapitre 3), soit à celui des rapports entre mathématiques et réalité. Trois positions relatives à ce problème sont alors analysées : la théorie des modèles ou sémantique mathématique, le nominalisme et le schématisme kantien. Or qui dit participation dit réalisme platonicien. Le chapitre 4 expose ainsi un argument célèbre se présentant comme une objection forte à la thèse de l’existence des Idées platoniciennes – l’argument du troisième homme – ainsi que ses diverses interprétations chez Alexandre d’Aphrodise (150-215), Bernard Bolzano et Bertrand Russell, dans la mesure où il introduit au rapport entre réalité des objets idéaux, nombre de ces objets et infinité de leur prolifération. Le chapitre 5 introduit au problème de l’unité du concept de nombre, au-delà de ses applications à des contextes discrets (analyse combinatoire) ou continus (géométrie, mécanique, etc.). Analysant les concepts de quantité, mesure et unité, il introduit à la dialectique des rapports entre le nombre et la grandeur. Le chapitre 6 traite quant à lui de deux types de nombres qui ont mis des siècles pour en acquérir le statut : le zéro et les nombres négatifs. Le chapitre 7 enchaîne sur les grandes extensions de domaines de nombres (nombres complexes et nombres algébriques). Les chapitres 8 à 10 font une histoire conceptuelle de l’une des périodes les plus riches de l’histoire du concept de nombre, à savoir la fin du XIXe siècle, exposant la théorie des ensembles de Cantor (chapitre 8), les principes du logicisme de Frege et sa philosophie des mathématiques (chapitre 9) ainsi que sa méthodologie (chapitre 10). Dès lors ce sont les réflexions sur les rapports entre arithmétique, logique, méthode axiomatique et problèmes de fondements des mathématiques qui sont abordés à travers les travaux de Dedekind, Hilbert et Gödel (chapitre 11). La mathématique, et en particulier l’arithmétique, est-elle reconductible à un unique canon ? C’est contre cette tendance réductrice que les sciences cognitives nous permettent actuellement de mieux comprendre les processus multiples par lesquels est mis en œuvre le « sens des nombres » (chapitre 12). Le chapitre 13 expose les trois points de vue husserliens sur l’arithmétique (psychologique, symbolique et algébrique) et sa philosophie de l’arithmétique. Le livre se termine sur les avancées majeures des mathématiques contemporaines qui ont été rendues possibles grâce au développement d’outils puissants comme les catégories et les diagrammes. Ils ont induit une transformation de notre compréhension des nombres grâce aux idées de construction, d’existence et d’unicité, liées à la notion de problème universel (chapitre 14). – Sommaire, pp. V-IX ; Épilogue, pp. 327-329 ; Bibliographie, pp. 331-336 ; Index nominum, pp. 337-340.

F. F.

 

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Dernière mise à jour : Jeudi 15 avril 2021