Cette leçon inaugurale (n° 106) de la Chaire Analyse et Géométrie du Collège de France – prononcée par Alain Connes le vendredi 11 janvier 1985 – met en évidence le lien étroit qui a été opéré dans les années 1920 entre la physique théorique et les mathématiques pures avec la constitution de la mécanique quantique. Il montre comment une réalité expérimentale, devenue un principe physique – le principe de composition des raies spectrales des atomes, dit «principe de composition de Ritz Rydberg» –, a exigé de remplacer la mécanique classique par la mécanique des matrices (due à Heisenberg) pour décrire l’évolution des quantités physiques associées à un système microscopique : soit le formalisme de la première (l’algèbre commutative) par un nouvel outil (l’algèbre non commutative). Dès lors Alain Connes montre le rôle joué par ces nouvelles algèbres dites « d’opérateurs » (i.e. les algèbres de von Neumann) en géométrie : la théorie générale des algèbres de von Neumann étant un analogue non commutatif de la théorie de la mesure (théorie de Lebesgue). La leçon se termine sur la nature problématique de la notion d’espace géométrique dès lors qu’il s’agit d’unifier la relativité, la gravitation et la mécanique quantique.

F. F.