La Géométrie non euclidienne

Sommaire : I - Considérations générales et historiques. - Euclide - Premières idées touchant la géométrie non euclidienne - Les fondateurs de la géométrie non euclidienne : Lobatschewsky, Bolyai, Riemann. Leurs continuateurs. II - Les définitions et postulats d'après Euclide. Les trois géométries. - Les définitions - Les postulats - Les définitions de la droite et du plan - Programme des principales propositions élémentaires de la géométrie générale - Les hypothèses de Saccheri - Région normale - Extension de la région normale - Hypothèse de l'angle droit. Géométrie euclidienne - Hypothèse de l'angle aigu. Géométrie lobatschewskienne - Hypothèse de l'angle obtus. Géométrie riemannienne - Étude inverse - Le plan elliptique de Cayley-Klein - Les géométries non archimédiennes. III - La distance comme notion fondamentale. - Les travaux de De Tilly - La droite et le plan d'après Cauchy. IV - La géométrie générale dans le plan et dans l'espace. - La géométrie générale dans le plan - La géométrie générale dans l'espace - Théorie des droites et plans qui ont une normale commune - Théorie des droites et plans parallèles. V - La trigonométrie. - Formules des triangles - Formules des quadrilatères. Constructions fondamentales. VI - Les constructions générales sur le plan et sur la sphère. - Hypercycle et horicycle - Construction des angles à tangente rationnelle - Construction des angles à sinus ou à cosinus rationnel - Construction des longueurs - Inscription des polygones réguliers - Carrelage de polygones réguliers égaux. VII - Mesure des aires et volumes. - Aires planes, triangles et polygones - Aire des surfaces courbes - Volumes. VIII - La quadrature non euclidienne du cercle. - La solution de Bolyai - La quadrature en géométrie générale. IX - L'impossibilité de démontrer le postulatum. - Opinions et controverses - Tractrice et pseudosphère - Représentations des géométries non euclidiennes sur le plan euclidien - L'impossibilité de démontrer le Postulatum d'Euclide. X - La géométrie physique. - La forme géométrique de notre Univers - Mesures relatives au paramètre. Note: Sur deux quadrilatères birectangles et isocèles de la région normale. Adolphe BUHL : LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE DANS SES RAPPORTS AVEC LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE I - Multiplication et dérivation extérieures. - Multiplication. Schème euclidien - Intégrales doubles et muktiples. Leurs transformations - Convention de sommation - Formules stokiennes. Premier type - Formules stokiennes. Second type - Dérivation extérieure. Remarques diverses - Formule de bifurcation. II - L'électromagnétisme de Maxwell et la géométrie de Cayley. - Équations de Maxwell généralisées - Forme cayleyenne - Transformations d'une sphère en elle-même - L'espace cayleyen - Le ds2 cayleyen et le ds2 euclidien - La définition cayleyenne de l'angle euclidien - Les déplacements cayleyens - Retour sur les transformations d'une sphère en elle-même - Les vis cayleyennes - Choix de l'absolu. III - La géométrie différentielle de Riemann. - Formule de Stokes et symboles de Riemann - Parallélisme selon Levi-Civita et Eddington - Formule de J. Pérès - Compléments métriques - Dérivées en D. Cas général - Extension du déplacement parallèle - Identités de Bianchi - Théorème de Schur - Identité fondamentale de la Gravifique d'Einstein - La géométrie différentielle sur une surface ordinaire - Le parallélisme généralisé - Les extensions des espaces de Riemann - Quanta. Mécanique ondulatoire. Univers à cinq dimensions. IV - Géométrie de la lumière. - Transformation de Lorentz - Cinématique d'Einstein - La quadrature du cercle - Lumière et solide idéal.