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MONOGRAPHIE

Épistémologie mathématique

  • Pages : II-208
  • Collection : Références sciences
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  • Support : Document imprimé
  • Edition : Originale
  • Ville : Paris
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  • ISBN : 978-2-7298-70454
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  • Date de création : 16-12-2011
  • Dernière mise à jour : 16-12-2015

Résumé :

Français

Cet ouvrage est un cours d'épistémologie des mathématiques dans lequel alternent commentaires de textes historiques, réflexions épistémologiques et démonstrations mathématiques. Quatre grandes problématiques en articulent le contenu : la nature des objets mathématiques, les méthodes de raisonnement légitimes, la nature de l'infini mathématique et enfin le formalisme. Le premier chapitre se concentre sur le problème de la rigueur en mathématiques, qui est lié selon l'auteur à la conception que les mathématiciens se font des êtres et des énoncés mathématiques (chap. 1 : « La rigueur en mathématiques »). Le second analyse un théorème sur les entiers naturels (chap. 2 : « Analyse de preuves. Le pgcd »). Le troisième porte sur les entiers naturels en tant que tels (chap. 3 : « Les entiers naturels »). Dans le quatrième chapitre, l'auteur soutient une thèse à travers l'analyse d'un exemple paradigmatique, celui des espaces vectoriels : les idéalités mathématiques, bien que ce soit des abstractions, ont une racine concrète (chap. 4 : « Analyse de preuves. Espaces vectoriels et systèmes linéaires »). Le cinquième analyse la notion d'infini d'Euclide à Cantor (chap. 5 : « Points de repères historiques sur l'infini en mathématiques »). Le sixième porte sur la notion d'uniformité à partir de l'étude de deux cours de Cauchy donnés à l'École Polytechnique (chap. 6 : « À propos de Cauchy et de l'uniformité »). Le chapitre 7, à travers l'examen du théorème des valeurs intermédiaires, analyse la nature de deux types d'objets mathématiques : les nombres réels et les fonctions continues (chap. 7 : « Nombres réels et fonctions continues »). Le chapitre 8 porte sur la notion de continu en mathématiques : il se base sur une analyse d'un extrait du chapitre II de La science et l'hypothèse de Poincaré (chap. 8 : « La structure du continu »). Le chapitre 9 présente la théorie des ensembles de Cantor et le paradoxe de Russell (chap. 9 : « Cantor et l'infini actuel »). Le chapitre 10 examine quant à lui les positions de Turing, Gödel et Church par rapport au problème de la mécanisation du calcul (chap. 10 : « La calculabilité mécanique »). Enfin le dernier chapitre évalue les conséquences du théorème d'indécidabilité de Turing (chap. 11 : « On ne peut pas tout savoir »). – Notes ; Annexe, pp. 179-190 ; Bibliographie, pp. 191-192 ; Chronologie, pp. 193-205 ; Index, pp. 207-208.

F. F.

 

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Dernière mise à jour : Samedi 16 octobre 2021