Le point de départ de cet article est le deuxième problème de Hilbert : le problème de la démonstration de la consistance de l’arithmétique qui occupe une place centrale dans la théorie métamathématique de Hilbert. L’auteur expose dans quelle conjoncture philosophique (pour la philosophie des mathématiques) le programme est apparu, avant de présenter la thèse centrale de l’élimination de l’infini par Hilbert. Cela lui permet de situer la position hilbertienne finitiste comme constructiviste, puis d’exposer comment Hilbert élimine les preuves idéales qui utilisent la fiction de l’infini. Il traite enfin du problème de la conservativité et de la consistance : la démonstration de la conservativité doit elle-même être finitiste. Dosen montre que conservativité et consistance sont équivalentes. – Le deuxième problème de Hilbert; – La place du programme de Hilbert dans la philosophie des mathématiques; – L’élimination de l’infini; – Conservatisme et consistance; – Les théories d’incomplétude; – Un appendice structuraliste.