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Mathématiques et intuitions : Zermelo et Poincaré face à la théorie axiomatique des ensembles et à l’axiome du choix

  • Pages : 51 à 87
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  • Date de création : 04-01-2011
  • Dernière mise à jour : 04-01-2011

Résumé :

Français

À l’occasion de réflexions sur l’axiome du choix, Zermelo et Poincaré sont amenés à préciser ce qui doit être au fondement des mathématiques et peut servir à justifier un axiome. Défendant l’autonomie des mathématiques, chacun d’eux invoque une intuition mathématique spécifique visible dans la pratique du mathématicien. D’abord, nous explicitons ce qui distingue l’attitude du mathématicien de celle du logicien, en prenant l’exemple de Zermelo. Puis, pour déterminer la nature réelle de l’intuition invoquée et la position précise de Zermelo, nous analysons dans le détail son argumentation en dissipant certaines confusions relatives aux notions d’évidence et d’intuition. Nous étudions, ensuite, les arguments de Poincaré destinés à établir, premièrement, que les mathématiques doivent avoir un fondement intuitif et, deuxièmement, qu’il est possible d’offrir un tel fondement à l’axiome du choix. Nous montrons qu’ils prouvent moins que Poincaré ne le croyait. Cette analyse comparative des thèses de Zermelo et de Poincaré nous permet de distinguer un vrai intuitionnisme d’une position faussement semblable où l’«intuition» résulte de la pratique et de la culture acquises dans la discipline. À la lumière de cette distinction, nous réévaluons les arguments avancés par chacun d’eux.

 

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Dernière mise à jour : Vendredi 03 décembre 2021