Logicité et non-logicité de l’axiomatique

L’article se propose d’explorer ce qui, dans la démarche axiomatique de la mathématique contemporaine, excède la dimension logique. À cette fin, on commence par décrire, notamment en faisant appel au point de vue de la correspondance de Curry-Howard, l’extrémalité de l’axiome, sa principale propriété dans une perspective logique. Ensuite on évoque les modalités de l’axiomatisation dans la mathématique actuelle, en distinguant entre une axiomatique conceptuelle, non fondationnelle, liée au programme de classification, et l’axiomatique pure, instituante, par laquelle l’univers des ensembles, par exemple, est supposé donné. Enfin, on analyse philosophiquement ce style instituant, en montrant qu’il est lié pour le mathématicien à une intuition, et qu’il n’est pas absurde de reconnaître dans ce type d’intuition (une variante de) ce que Kant appelait intuition pure dans la Critique de la Raison pure. M.-M. V.