Logique mathématique

La logique est à la base de tout raisonnement, qu'il soit mathématique, méthodologique, probabiliste, statistique, etc. Paradoxalement, beaucoup de chercheurs raisonnent avec une logique informelle; ce livre permet de rendre plus formelle cette essentielle logique. Après un rappel de la logique élémentaire, i.e. tables de vérité, calcul propositionnel, etc., ce manuel fait un excellent résumé de récents développements, quelques fois discutés, mais plus ou moins assimilés, e.g. calculabilité, décidabilité, incomplétude (Gödel). – Sommaire : – I. Logique mathématique élémentaire. 1 - Le calcul propositionnel. Considérations relatives au langage : les formules. Théorie des modèles : Tables de vérité, validité. - La règle de substitution, une collection de formules valides. - Implication et équivalence. - Les chaînes d'équivalences. - La dualité. - La notion de conséquence valide. - Les tables de vérité réduites. Théorie de la démonstration : Démonstrabilité et déductibilité. - Le théorème de la déduction. - La consistance, les règles d'introduction et d'élimination. - La complétude. - L'emploi de règles dérivées. Applications au langage usuel : L'analyse d'arguments. - Les arguments incomplets. – 2 - Le calcul des prédicats. Considérations relatives au langage : formules, occurrences libres et liées de variables. Théorie des modèles : Domaines, validité. - Résultats fondamentaux sur la validité. - Autres résultats sur la validité. - La notion de conséquence valide. Théorie de la démonstration : Démonstrabilité et déductibilité. - Le théorème de la déduction. - La consistance, les règles d'introduction et d'élimination. - Le remplacement, les chaînes d'équivalences. - Transformations des quanteurs, forme prénexe. Applications au langage usuel : Ensembles, formes catégoriques aristotéliciennes. - Complément sur la traduction des mots en symboles. – 3 - Le calcul des prédicats avec égalité. Fonctions, termes. L'égalité. L'égalité comme équivalence, l'extensionalité. Les descriptions. – II - La logique mathématique et les fondements des mathématiques. 4 - Les fondements des mathématiques. Les ensembles dénombrables. La méthode cantorienne de la diagonale. Les ensembles abstraits. Les paradoxes. Pensée axiomatique et pensée intuitive en mathématiques. Les systèmes formels et la métamathématique. L'arithmétique formelle. Quelques autres systèmes formels. 5 - Calculabilité et décidabilité. Procédures de décision et de calcul. Machines de Turing, Thèse de Church. Le théorème de Church (par les machines de Turing). Applications à l'Arithmétique formelle : Indécidabilité (Church) et incomplétude (théorème de Gödel). - Les démonstrations de consistance (le second théorème de Gödel). Application au calcul des prédicats (Church, Turing). Les degrés d'insolubilité (Post), les hiérarchies (Kleene, Mostowski). Indécidabilité et incomplétude en supposant seulement la consistance simple. 6 - Le calcul des prédicats (Suppléments). Le théorème de complétude de Gödel : Introduction. - La découverte fondamentale. - dans un système formel de type Gentzen. Le théorème de Löwenheim-Skolem. - dans un système formel de type hilbertien. - et le théorème de Löwenheim-Skolem en calcul des prédicats avec égalité. Le paradoxe de Skolem et les modèles non standard de l'arithmétiques. Le théorème de Gentzen. La permutabilité. Le théorème de Herbrand. Le théorème d'interpolation de Craig. Théorème de définissabilité de Beth, théorème de la consistance de Robinson. – Annexe 1. Bibliographie; – Annexe 2. Table des théorèmes et des lemmes; – Annexe 3. Liste des postulats; – Annexe 4. Symboles et notations. M.-M. V.