Les nombres à eux seuls présentent toute la fascination des mathématiques, des concepts les plus élémentaires (les nombres entiers) aux plus subtils (les nombres complexes), des applications les plus concrètes (comptabilité, ingénierie) aux problèmes les plus abstraits (théorie des nombres premiers). À travers neuf chapitres, cet ouvrage présente un voyage dans l'univers des nombres, où la science n'exclut ni l'art ni la philosophie, et où le sérieux n'interdit pas l'humour. Plusieurs des illustrations qui enrichissent le texte présentent d'autre part un intérêt historique, étant des reproductions d'ouvrages anciens. Sommaire : – Petite histoire des chiffres : les systèmes de numérotation; – Le nombre ailleurs que chez lui; – La vie passionnante d'une famille nombreuse; – Sa majesté le nombre premier; – De la métaphysique... aux beaux-arts; – Les figures régulières; – Les nombres peuvent aussi mesurer l'infini; – Deux nombres vedettes : a et e; – L'imaginaire en mathématiques ou les exploits du nombre i. M.-M. V.

Cette nouvelle édition reprend la précédente, aujourd’hui épuisée, publiée par les soins de Paul Tannery et Charles Henry entre 1891 et 1922. L’objectif est de rendre à nouveau disponible cette œuvre fondamentale d’un mathématicien novateur en Géométrie algébrique, en Géométrie infinitésimale, tout comme dans ses travaux sur les probabilités. – Ce Premier volume réunit les écrits arithmétiques de Fermat – notamment les Observations sur Diophante, l’Inventum Novum, le Commercium Epistolicum –, précédés de commentaires historiques et mathématiques substantiels, où l’on veut élucider l’intention de Fermat et situer son œuvre en théorie des nombres. Dans la traduction du Commercium Epistolicum de Wallis, Paul Tannery avait écarté les lettres de Fermat parues dans le second volume des Œuvres de Fermat, éditées par lui-même et Charles Henry. Or ces lettres faisaient bien entendu partie du Commercium publié en 1658 par Wallis. Le présent volume les restitue pour que le lecteur ait entre les mains le Commercium dans son intégralité. On trouvera donc insérées ici les lettres LXXIX, LXXX, LXXXI, LXXXV, ainsi que les lettres LXXXII, LXXXIII, LXXIV, XCI, XCVI qui portent respectivement dans le Commercium les numéros suivants : IV, XI, XII, XXXVII, XLVII. M.-M. V.

Cantor's ideas formed the basis for set theory and also for the mathematical treatment of the concept of infinity. The philosophical and heuristic framework he developed had a lasting effect on modern mathematics, and is the recurrent theme of this volume. Hallett explores Cantor's ideas and, in particular, their ramifications for Zermelo-Fraenkel set theory. – This book studies Cantor's original development of set theory and its main subsequent development in the following thirty years. In his discussion of Cantor's work, Hallett addresses himself to three main questions. How did “set” become the fundamental notion in Cantor's theory ? What was Cantor's own conception of set ? What effect did Cantor's philosophical ideas have on the shape of his own theory and on what came later ? Part 2 of the book considers the extent to which modern set theory is properly to be seen as the axiomatic development (notably by Zermelo, Fraenkel and von Neumann) of Cantor's original conception. The universality of set construction can lead to paradoxes. Limitations of size as a basis for consistent elucidation of the set concept is an underlying theme of this work. Hallett's book makes an important contribution, both for the author's own insights and for his careful exposition of historical development, with detailed references and extensive quotation from the literature, including work by Dedekind, Frege, Russell, Jourdain, Miramanoff, Hessenberg, W.H. and G.C. Young, Hausdorff, Kuratowski, Bernays, Gödel, and more. – Part 1 : «The Cantorian origins of set theory»; – Part 2 : «The limitation of size argument and axiomatic set theory».

Cet ouvrage est un cours d'épistémologie des mathématiques dans lequel alternent commentaires de textes historiques, réflexions épistémologiques et démonstrations mathématiques. Quatre grandes problématiques en articulent le contenu : la nature des objets mathématiques, les méthodes de raisonnement légitimes, la nature de l'infini mathématique et enfin le formalisme. Le premier chapitre se concentre sur le problème de la rigueur en mathématiques, qui est lié selon l'auteur à la conception que les mathématiciens se font des êtres et des énoncés mathématiques (chap. 1 : « La rigueur en mathématiques »). Le second analyse un théorème sur les entiers naturels (chap. 2 : « Analyse de preuves. Le pgcd »). Le troisième porte sur les entiers naturels en tant que tels (chap. 3 : « Les entiers naturels »). Dans le quatrième chapitre, l'auteur soutient une thèse à travers l'analyse d'un exemple paradigmatique, celui des espaces vectoriels : les idéalités mathématiques, bien que ce soit des abstractions, ont une racine concrète (chap. 4 : « Analyse de preuves. Espaces vectoriels et systèmes linéaires »). Le cinquième analyse la notion d'infini d'Euclide à Cantor (chap. 5 : « Points de repères historiques sur l'infini en mathématiques »). Le sixième porte sur la notion d'uniformité à partir de l'étude de deux cours de Cauchy donnés à l'École Polytechnique (chap. 6 : « À propos de Cauchy et de l'uniformité »). Le chapitre 7, à travers l'examen du théorème des valeurs intermédiaires, analyse la nature de deux types d'objets mathématiques : les nombres réels et les fonctions continues (chap. 7 : « Nombres réels et fonctions continues »). Le chapitre 8 porte sur la notion de continu en mathématiques : il se base sur une analyse d'un extrait du chapitre II de La science et l'hypothèse de Poincaré (chap. 8 : « La structure du continu »). Le chapitre 9 présente la théorie des ensembles de Cantor et le paradoxe de Russell (chap. 9 : « Cantor et l'infini actuel »). Le chapitre 10 examine quant à lui les positions de Turing, Gödel et Church par rapport au problème de la mécanisation du calcul (chap. 10 : « La calculabilité mécanique »). Enfin le dernier chapitre évalue les conséquences du théorème d'indécidabilité de Turing (chap. 11 : « On ne peut pas tout savoir »). – Notes ; Annexe, pp. 179-190 ; Bibliographie, pp. 191-192 ; Chronologie, pp. 193-205 ; Index, pp. 207-208.

F. F.