L'auteur part de la problématique de Gall, qui formula pour la première fois un programme de recherche dans lequel s'inscrivent encore une grande partie des sciences cognitives contemporaines. Elle lui permet dans une première grande partie de présenter la « version » contemporaine d'une théorie des facultés de l'esprit : la conception modulariste de l'architecture fonctionnelle de l'esprit théorisée par J. Fodor, une théorie qui propose un certain nombre de réponses aux questions posées par la théorie de Gall. Dès lors, sont successivement abordés l'opposition au projet de l'intelligence artificielle (IA) et les arguments avancés par Fodor contre le modèle de la machine de Turing hérités des fondateurs de la conception moderne du développement cognitif (réflexion sur l'innéité), l'idée de « bases neurales », l'hypothèse de la modularité massive, et enfin la perspective évolutionniste en sciences cognitives. La seconde partie affronte le problème philosophique du fondement des sciences cognitives dans le contexte théorique au sein duquel elles ont pris naissance : le fonctionnalisme, « une forme de structuralisme appliqué aux entités mentales » (p. 544) qui vise à mettre au jour les lois de la pensée. Succède une présentation de la théorie computationnelle de l'esprit, puis de la diversité des modèles élaborés dans la recherche de fondements propres aux sciences cognitives (modèles classiques, connexionnistes, dynamiques).

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Cet ouvrage est un cours d'épistémologie des mathématiques dans lequel alternent commentaires de textes historiques, réflexions épistémologiques et démonstrations mathématiques. Quatre grandes problématiques en articulent le contenu : la nature des objets mathématiques, les méthodes de raisonnement légitimes, la nature de l'infini mathématique et enfin le formalisme. Le premier chapitre se concentre sur le problème de la rigueur en mathématiques, qui est lié selon l'auteur à la conception que les mathématiciens se font des êtres et des énoncés mathématiques (chap. 1 : « La rigueur en mathématiques »). Le second analyse un théorème sur les entiers naturels (chap. 2 : « Analyse de preuves. Le pgcd »). Le troisième porte sur les entiers naturels en tant que tels (chap. 3 : « Les entiers naturels »). Dans le quatrième chapitre, l'auteur soutient une thèse à travers l'analyse d'un exemple paradigmatique, celui des espaces vectoriels : les idéalités mathématiques, bien que ce soit des abstractions, ont une racine concrète (chap. 4 : « Analyse de preuves. Espaces vectoriels et systèmes linéaires »). Le cinquième analyse la notion d'infini d'Euclide à Cantor (chap. 5 : « Points de repères historiques sur l'infini en mathématiques »). Le sixième porte sur la notion d'uniformité à partir de l'étude de deux cours de Cauchy donnés à l'École Polytechnique (chap. 6 : « À propos de Cauchy et de l'uniformité »). Le chapitre 7, à travers l'examen du théorème des valeurs intermédiaires, analyse la nature de deux types d'objets mathématiques : les nombres réels et les fonctions continues (chap. 7 : « Nombres réels et fonctions continues »). Le chapitre 8 porte sur la notion de continu en mathématiques : il se base sur une analyse d'un extrait du chapitre II de La science et l'hypothèse de Poincaré (chap. 8 : « La structure du continu »). Le chapitre 9 présente la théorie des ensembles de Cantor et le paradoxe de Russell (chap. 9 : « Cantor et l'infini actuel »). Le chapitre 10 examine quant à lui les positions de Turing, Gödel et Church par rapport au problème de la mécanisation du calcul (chap. 10 : « La calculabilité mécanique »). Enfin le dernier chapitre évalue les conséquences du théorème d'indécidabilité de Turing (chap. 11 : « On ne peut pas tout savoir »). – Notes ; Annexe, pp. 179-190 ; Bibliographie, pp. 191-192 ; Chronologie, pp. 193-205 ; Index, pp. 207-208.

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Concept central de l'informatique, outil de démonstration à la fois efficace et rapide, l'algorithme introduit un nouveau principe de fonctionnement technologique, c'est-à-dire à la fois une nouvelle manière de penser et une nouvelle façon d'explorer la nature. Qu'est-ce qu'un algorithme ? C'est une séquence d'instructions à suivre pour parvenir à un résultat en un temps fini, soit un programme pilotant l'exécution d'un calcul sur des données appartenant à une classe de problèmes. Or comme le montre l'auteur dans la première partie de sa Leçon inaugurale (n° 229) au Collège de France au sein de la Chaire annuelle d'Informatique et sciences numériques, une classe de problèmes est définie par la complexité de l'algorithme permettant de les résoudre. L'algorithmique distingue ainsi trois classes de problèmes auxquelles sont corrélées trois classes de complexité algorithmique : polynomiale (classe P), exponentielle (classe EXP) et non déterministe polynomiale (classe NP). Après avoir exposé la typologie de la complexité algorithmique, l'auteur nous montre un des résultats révolutionnaires apporté par l'informatique théorique : la trivialisation de la vérification continue d'une chaîne démonstrative grâce à l'aléa algorithmique, qui, outillé au moyen de l'algorithme PCP, a permis de révolutionner « notre conception mathématique et épistémologique de la preuve. » (p. 75) Dès lors, si les équations mathématiques – celles de Newton, Maxwell, Boltzmann, Einstein et Schrödinger – ont fait le succès de la physique (dans la mesure où elles permettent d'expliquer la quasi-totalité des phénomènes physiques de notre univers), c'est en revanche l'algorithme qui se présente actuellement comme un puissant outil d'appréhension des phénomènes collectifs, qu'ils soient naturels (une volée d'oiseaux, une construction de termitière, un banc de poissons, etc.), sociaux (un groupe d'individus, un réseau social, etc.) ou biologiques (des réseaux neuronaux, des circuits cellulaires, des réseaux protéiques, etc.). Comme l'écrit Bernard Chazelle en conclusion de sa Leçon inaugurale : « si les sciences nouvelles se parlent, leur langage est sans aucun doute l'algorithmique. Les algorithmes naturels nous donnent un langage. À nous de le lire, de le déchiffrer, et de s'émerveiller de la littérature de la nature » (p. 102). – 1. Introduction : La complexité algorithmique ; 2. Et Turing arriva à Princeton : Universalité – Dualité – Autoréférence ; 3. Peut-on automatiser la créativité ? ; 4. Pile ou face : Que sais-je ?  – La magie du PCP – Quelle est l'idée du PCP ? – La logique du PCP – L'algèbre du PCP ; 5. Les algorithmes naturels : Les systèmes d'influence – Les nuées d'oiseaux – Les systèmes d'influence diffusifs.

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Cette seconde édition (corrigée et améliorée par rapport à la première datée de 2004) constitue une excellente introduction à l’œuvre logico-mathématique et aux réflexions épistémologiques de Kurt Gödel, auxquelles le développement de la pensée mathématique de la première moitié du XXe siècle est inséparable. Dans un premier temps, Pierre Cassou-Noguès montre comment la pensée mathématique qui s’est développée au XIXe siècle – et dont le couronnement fut incarné par la théorie des ensembles de Cantor – a engendré plusieurs paradoxes (ceux de Burali-Forti, Russell et Richard) qui induisirent la crise des fondements en mathématique (chapitre 1). Le chapitre 2 a pour fonction de replacer les travaux de Gödel dans ce contexte. La suite de l’ouvrage est consacrée à l’exposition détaillée et à l’explicitation analytique des résultats obtenus par Gödel au cours de ses recherches logiques, mathématiques et épistémologiques : les deux théorèmes de 1931 sur l’incomplétude de l’arithmétique élémentaire (chapitre 3) ; sa définition de la calculabilité et ses conséquences sur sa représentation de l’esprit humain (chapitre 4) ; son établissement de la consistance de l’hypothèse du continu sur la base des axiomes de la théorie des ensembles (chapitre 5) ; et enfin, ses traductions de l’arithmétique classique dans trois systèmes différents, dans le cadre de sa recherche sur le fondement de l’arithmétique menée entre 1933 et 1958 (chapitre 6). L’ouvrage se termine sur un chantier ouvert par Gödel, qui d’une certaine manière, sera mis en œuvre par les premiers « catégoriciens » (i.e. les inventeurs et les utilisateurs de la théorie mathématique des catégories) : celui consistant à thématiser les opérations finitistes de l’activité mathématicienne, afin de découvrir de nouveaux objets et de constituer de nouveaux concepts. – Repères chronologiques, pp. 9-10 ; Introduction, pp. 11-16 ; Notices des principales figures évoquées, pp. 175-183 ; Bibliographie, pp. 185-187 ; Table des matières, pp. 189-190.

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