Moderne prolongement de la classique théorie des équations différentielles, la théorie des équations intégrales rejoint, à travers les espaces de Hilbert, l’analyse matricielle qui s’est révélée un outil important dans la mécanique ondulatoire de Louis de Broglie. M.-M. V.

Ce livre a pour objet la longue histoire des transformations qui lient la physique à la géométrie. La géométrisation de la physique s'origine chez les Grecs, dont les efforts ont permis de léguer, à travers l'astronomie – premier domaine d'observation dans lequel s'est développée une théorie mathématique – quatre idées directrices : 1° soumettre l'appréhension des phénomènes à un ordre mathématique 2° dégager un principe au fondement de cet ordre 3° fixer l'idéal d'intelligibilité à partir des critères de simplicité et de clarté 4° intégrer l'effort descriptif d'observation dans une dynamique prédictive (chapitre I). C'est le perfectionnement de ces idées qui permettra à la science moderne de se constituer à l'époque de la Renaissance. Dès lors l'auteur présente les trois grands moments de la géométrisation de la physique à la Renaissance (chapitre II) : 1° le soutien de la thèse héliocentriste de Copernic par Galilée et Kepler 2° le rôle décisif de Galilée dans la victoire du système de Copernic 3° la révolution géométrique accomplie par Kepler grâce à la détermination de la forme des trajectoires planétaires (ellipses) et des lois qui régissent le mouvement des planètes autour du Soleil (loi des orbites, loi des aires, loi des périodes). Les Principes mathématiques de la philosophie naturelle de Newton (1687) – les « Principia » – marquent l'apogée de cette approche exclusivement géométrique (euclidienne) de la physique, et la Mécanique analytique de Lagrange (1788), le début de la physique mathématique moderne, dans la mesure où elle exprime le premier grand effort de dépassement des méthodes élémentaires de la géométrie euclidienne en développant des méthodes algébriques et analytiques en physique (chapitre III). Or ce développement des méthodes algébriques a ouvert la voie à une géométrisation de la mécanique dans des espaces abstraits. La suite de l'ouvrage présente l'histoire de cette nouvelle géométrisation de la physique, sous forme de chapitres thématiques indépendants : le premier porte sur le principe de Fermat, dans la mesure où il permet de constituer une optique géométrique, d'ouvrir la voie aux principes extrémaux (chapitre IV) et d'annoncer la découverte des géométries non euclidiennes, celles-ci permettant par exemple de décrire les propriétés de l'espace-temps courbe en relativité générale (chapitre V). Le chapitre VI présente la notion d'espace abstrait (engendrée suite aux travaux initiés par Lagrange, Hamilton et Jacobi) visant à déterminer l'évolution des systèmes physiques à des échelles macroscopiques (espaces des phases) ou microscopiques (espace des configurations, espace des impulsions, espaces de Hilbert, etc.) (chapitre VII). Dès lors, l'auteur montre comment la symétrie, via la théorie des groupes, a investi la physique, dans la mesure où les structures de groupe permettent d'éclairer la nature de nombreux phénomènes physiques, tant à l'échelle microscopique qu'à l'échelle macroscopique (chapitres VIII, IX, X, XI) : la théorie des groupes mettant en évidence l'invariance des lois de la physique par rapport à des groupes de transformations. – Bibliographie, pp. 259-264 ; Index des noms, pp. 265-268. – Chapitre I : « La géométrisation de la physique » ; chapitre II : « Les trois grands moments de la géométrisation de la physique à la Renaissance » ; chapitre III : « L'apogée et le déclin du règne de la géométrie euclidienne en physique » ; chapitre IV : « Les principes extrémaux » ; chapitre V : « L'espace non euclidien » ; chapitre VI : « Les espaces abstraits » ; chapitre VII : « La mécanique quantique et la géométrie » ; chapitre VIII : « Comment la symétrie a émergé de la physique » ; chapitre IX : « Les groupes prennent le pouvoir » ; chapitre X : « Quand la physique émane des groupes » ; chapitre XI : « Le retour des épicycles » ; Conclusion, pp . 251-257. - 1re édition : Paris, Flammarion, 1994.

F. F.

Cette leçon inaugurale (n° 106) de la Chaire Analyse et Géométrie du Collège de France – prononcée par Alain Connes le vendredi 11 janvier 1985 – met en évidence le lien étroit qui a été opéré dans les années 1920 entre la physique théorique et les mathématiques pures avec la constitution de la mécanique quantique. Il montre comment une réalité expérimentale, devenue un principe physique – le principe de composition des raies spectrales des atomes, dit «principe de composition de Ritz Rydberg» –, a exigé de remplacer la mécanique classique par la mécanique des matrices (due à Heisenberg) pour décrire l’évolution des quantités physiques associées à un système microscopique : soit le formalisme de la première (l’algèbre commutative) par un nouvel outil (l’algèbre non commutative). Dès lors Alain Connes montre le rôle joué par ces nouvelles algèbres dites « d’opérateurs » (i.e. les algèbres de von Neumann) en géométrie : la théorie générale des algèbres de von Neumann étant un analogue non commutatif de la théorie de la mesure (théorie de Lebesgue). La leçon se termine sur la nature problématique de la notion d’espace géométrique dès lors qu’il s’agit d’unifier la relativité, la gravitation et la mécanique quantique.

F. F.